Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
флуктуаций ё (х).
Соответствующее уравнение для одноточечной плотности вероятностей
(аналогичное уравнению (2.8)) имеет вид
дР" (и) дР (и) я г 3 1 г- ^
+2y-^l=D-^shu cbu+-?rsbu Рх(и), (5.3)
дх ди ди
а2аЧ
где D = ъ 2 . Стационарное распределение вероятностей при этом
таково:
p~(u) = ip-^exp{-P(cth^ -*)} = (5-4)
что соответствует распределению (2.9) в переменных (1.29).
Отметим, что в переменных (1.33) стационарное распределение
вероятностей для р будет иметь, очевидно, вид
Р с
(Р) - -(г^у ехР {- т=^г} (р=тг)- (5-4/)
В общем случае, если и = / (ip), и стационарное распределение для
величины и дается в виде (2.9), стационарное распределение для ip равно
РW') = Роа(и = f (ip)) I /' (ip) |.
Отметим, что при выводе как (5.3), так и (5.4) используются два
приближения. Это, во-первых, гауссовость и дельта-коррели-рованность
случайной функции ? (х) и, во-вторых, возможность перейти к уравнениям,
усредненным на расстояниях порядка длины волны. Поэтому представляет
определенный интерес точное решение задачи для какой-нибудь модели
флуктуаций диэлектрической проницаемости с конечным радиусом корреляции.
Такими моделями являются флуктуации в виде телеграфного случайного
процесса и обобщенного телеграфного процесса [92].
Итак, рассмотрим стохастическую систему уравнений (5.2) и введем
величину
Ф [и, ср, х; ? (?)] - б (и (х) - и)б (ф (х) - ф), (5.3')
являющуюся функционалом от случайного процесса | (?). Среднее значение
этой величины - совместная плотность вероятностей для и (х), ф (х):
<Ф [и, ф, х; | (?)]> = Wx (и, ф). (5.4")
216
Дифференцируя (5.3') по х и используя уравнения (5.2), получим
стохастическое линейное уравнение Лиувилля:
~ + 2L(u, ф)Ф = а|(х)Л? (и, ф)Ф, (5.5)
где линейные операторы L (и, ф) и М {и, ф) определяются формулами
М (и, ф)/=------(sin ф shit) / + (1 -J- соэфсЬи)/. ^ ^
Для дальнейшего нам понадобится выражение для вариационной производной
функционала Ф [и, ф, х; | (%)] по \ (х1) при х' = х. Стандартным путем
получаем для нее равенство
ifEg 5 (ж)1 = аМ (и, ф) Ф [и, ф, х; ? (?)]. (5.7)
Усредним теперь уравнение (5.5). С учетом (5.4") получаем уравнение для
совместной плотности вероятностей величин и (х) и Ф (я):
dWv
-Ь 2L (и, ф) U',.аМ (и, ф) <|(х) Ф(и, ф, х)). (5.8)
Уравнение (5.8) не замкнуто относительно функции Wx. Конкретный вид этого
уравнения определяется средней величиной в правой части и зависит от
характера случайной функции | (х).
Уравнение (5.8), согласно третьей главе можно переписать также в
форме операторного уравнения:
дх
2L (и, ф) Wx = <^0Х . 6^(g) J Ф (и, ф, х)>, (5.9)
где (c)х [и (Ж)] =^-Ох [и (Ж)], а 0Х [v (Ж)] - логарифм характеристического
функционала процесса | (х), т. е.
(c)ж [v (Ж)] = In ехр li^dxv (х) I (:с)|
... о
Перейдем теперь к изучению уравнения (5.8) для конкретных процессов.
5.1. Дельта-коррелированные процессы. Прежде всего рассмотрим модель
флуктуаций | (х) с нулевым радиусом корреляции, т. е. модель дельта-
коррелированных по х флуктуаций е (х).
Для дельта-коррелированных процессов | (х) логарифм
характеристического функционала (c)ж [у (Ж)] удовлетворяет равенству
(c)/[у (2)] = 0* [у (я)],
217
и, следовательно, уравнение (5.9) с учетом равенства (5.7) принимает
форму замкнутого уравнения:
H'v (5.10)
Так, для гауссовского дельта-коррелированного процесса | (х) с
функционалом 0Л-, равным
(r)x[v(x)]=------^dxv2 (х),
О
(5.10) принимает вид уравнения Эйнштейна - Фоккера:
4- 21 (и, ф) Wx = М2 [и, ф) \YX (и, ф). (5.11)
Перейдем теперь непосредственно к процессам | (х) с конечным
радиусом корреляции. При этом мы подробно рассмотрим случай телеграфного
процесса и более кратко остановимся на случае обобщенного телеграфного
процесса.
5.2. Телеграфный процесс. Пусть ? (х) - телеграфный случайный
процесс, определяемый формулой
I (х) = а (_1)п(о.*), (5.12)
где Prob. (а = 1) = РгоЬ. (а = -1) = 1/2, а п (0, х) - целочис-
ленный случайный процесс, обладающий свойствами:
1) п (xj, х3) = п (Ж], х2) + п(х2, х3), л, ^ х3;
2) п (хг, х2) и п(х2, хя) при х{ < х2 < х3 статистически
независимы;
I - / , . Ч I m
3) Prob. (н (*!, х2) - т) = - exp {- n (xlt x2)},
П (Xj, Х2) = V ] Xj - x2\.
Корреляционная функция для в (х) в этом случае имеет вид <Ё (хл) е (х2)У
