Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Усредняя теперь (4.16) по быстро меняющимся функциям, получаем уравнение
= - D -4-1\ + D -IV Рх + 3D -4- Рх (4.17)
dx dq х dq2 с?ф2 х v
'
с начальным условием
РЛЧ- ф) -- S (д) б (ф). (4.18)
Уравнение (4.17) соответствует уравнению (3.4.49) для данной
задачи. Очевидно, что уравнение для усредненной плотности вероятностен
перехода марковского процесса {q (х), ф (ж)} также имеет вид (4.17).
Отсюда следует, что случайные процессы q (х) и ф (ж), входящие в формулу
(4.11), являются гауссовскими независимыми процессами со средними
значениями
<ф (х)} - 0, (ж)) = Dx (4.19)
и корреляционными функциями
<Ф (ж)ф (х')У = 6D min {х, х'}, (x)q (х')У = 2D min {х, х'},
(4.20)
где q (х) = q (х) - <(/ (ж)). Подобное усреднение уравнения (4.16) можно,
очевидно, провести, если выполнено условие D к (Dl<^ 1, А, = 2я |Л' ]).
Таким образом, мы можем переписать выражение для интенсивности волны
(4.11) в виде
1 (х) = 2/о ехр {-D (L - х) - q (L) + q (ж)}[1 - cos (2кх + ф)]
(А0->-оо), (4.21)
т (х) = 21 о ехр {- D (L - х) - q (L) q (ж)}[1 + cos (2кх + ф)]
(к 0 ->¦ 0). (4.22)
Формулы (4.21), (4.22) позволяют легко вычислять любые моменты
интенсивности волны (как одноточечные, так и многоточечные). Так, для
распределения средней интенсивности волны в слое среды получаем выражения
<7 (я)> = 2/о {1 + ехр {-3Dx} cos 2кх}, (4.23)
где верхний злак относится к случаю к0 -оо, а нижний - к случаю /со ->-
0. Отметим, что при Dx 1 распределение вероятностей для ф (х) стремится к
равномерному распределению на отрезке [0, 2л]; поэтому получаем, что при
Dx 1 <7 (ж)> = 2/0 независимо от краевых условий при х = 0. Аналогичным
образом находим, что при Dx 1
Ф (Х)У = 672 ехр {2D (L - х)} и т. д. (</2> = АЦ). (4.24)
Максимальное значение дисперсии интенсивности, как и других моментов,
достигается внутри слоя среды вблизи зеркальной по-
верхности, т. е. моменты интенсивности также экспоненциальнб растут
внутри слоя среды при увеличении его толщины, как это имеет место и в
случае отсутствия отражения от граничной плоскости.
Таким образом, можно нарисовать следующую картину поведения моментов
иптепсивпостп внутри слоя среды с изменением краевых условий (параметра
к0) при достаточно большой величине L - толщины слоя. Для малых к"
имеется резкий максимум вблизи границы х = 0 и экспоненциалышГт выход на
значение 1 при х = L. При увеличении максимум смещается внутрь слоя
(максимальное смещение до ~L/2 при к0 = к), по экспоненциальный выход на
значение 1 вблизи х - L не изменяется (/" = 1, 2). При дальнейшем
увеличении к0 максимум опять смещается к границе х ~ 0, а
экспоненциальный выход на 1 не изменяется. Таким образом, само явление
экспоненциального роста интенсивности внутри слоя среды оказывается очень
чувствительным к краевому условию при х = 0. Однако экспоненциальный
характер выхода на значение Т (L) = 1 оказывается универсальным. Ширина
этой области зависит от краевых условий, как отмечалось выше.
В работе [90] изучался вопрос о флуктуации интенсивности волны внутри
слоя среды с зеркальной отражающей поверхностью при х = 0. При этом за
основу брались "укороченные" уравнения, типа рассмотренных в предыдущей
главе, для стохастического параметрического резонанса. Однако
существенное различие этих двух задач состоит в том, что рассмотренная
здесь задача является краевой, в то время как в работе [90] для
нахождения статистических характеристик "укороченных" уравнений
использовалось условие динамической причинности, которой на самом деле
нет. Результаты расчетов флуктуаций интенсивности, полученные выше,
совпадают, однако, с результатами, полученными в [90]. Это означает, по-
видимому, что метод "укороченных" уравнений, развитый в [90] для даштой
задачи, может быть корректно обоснован.
§ 5. О влиянии моделей среды на статистические
характеристики задачи
Выше мы изучали различные статистические характеристики волны в
случайпо-неодттородпом слое среды в предположении, что е (х) в (1.11) -
случайная гауссовская функция, дельта-кор-релированная во времени. При
наличии затухания в среде имеется стационарное распределение вероятностей
для флуктуаций модуля коэффициента отражения волны от слоя среды.
Представим коэффициент отражения в виде
R (х) = ехр {- [и (х) + г<р (х)]}, 0 и оо, (5.1)
215
где функции и (х) и <р (х) удовлетворяют уравнениям (1.37):
du dx
d^- = 2у + а? (х)
sin ф (х) sh и (х),
--^L. -- 2х - а? (х) [1 -j- cos ф (х) ch и (ж)],
a ? (х) = jli^ (х),а = ^Щ; величина )л характеризует интенсивность Iе I
