Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 83

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 135 >> Следующая

вУ, *=-f J ^ (^а п- 4-) ехр {- (^2+4-) (ь -4х
о '
00 оо
X ^ dlixlixPx (Ux) ^ dllyllyP_1Д+щ (Uy) р {Му, У j Ихч ^)*
(3.21)
1 1
сс
Внутренний интеграл Д (у) = J йиуиуР-,ш,л (иу) р(иу, у \их, х)
1
можно вычислить совершенно аналогично вычислению функции fk (х) (3.8). В
самом деле, поскольку плотность вероятностей перехода, как функция
переменной г/, удовлетворяет тому же уравнению, что и одноточечная
плотность вероятностей Ру, для функции f1 (у) справедлива система
уравнений
fi (у) = ехр {- (ц2 - 3/4 ) (у - х)} (у),
dfi ___f _____2ih 4- ih __ 2(112 1 * W
(3.22)
dy ]i - *Vu -щ- + h - - ^1* -r-4-j/i,
где функция % (у) аналогична % (х) (3.10) с заменой Рх(и) на р (иу, у |
их, х). Начальные условия для системы (3.22) получаются из определения
функций /х (у) и % (у) при предельном переходе у ->¦ х, т. е.
/ 1 |и=х = UXP~i/2+ifl (W.v),
- , 0 W
,'i,l|y=x= (w-x 1) P_i/2+i^ (wx).
Решение системы (3.22) с условиями (3.23) имеет вид fi (г/) = UxP-'j-лiu
Ю [cos 2li (г/ - z) -f Sin2^~":) '] f
+ 4 ~ ^ ~ЖГ Р-ЧМм (ux) sin 2ц (у - ж).
(3.24)
л:
Подставляя теперь (3.24) в (3.21), получаем выражение
By, х -
или В
ос
-f $ ^ fx (ц2 i- 4) -^т ехр {-L (^2 + 4)+у+
о
оо
+ х ---------^ duxuxf 1 (г/) Рх (их),
= -^5^ц^2+4-)-^Гехр|-/,^2+ 4-) + " +
о
+ а: (^2-4)}{[cos2^ (^ -х)+ ~n-~2jr~^-] ^2 ^ +
+ Ь(х) .sin2^~*> |, (3.25)
209
где функции /о (х) п ф2 (х) описываются системой уравнений (3.9),
(3.11). Таким образом, корреляционную функцию интенсивности можно
записать окончательно в виде интеграла
где функция /2 (х) описывается формулой (3.17), а (х) опреде-
ляется равенством
При у = х выражение (3.26) переходит, естественно, в (3.18), а при х = 0
получаем корреляцию </ (0) Т (у)), совпадающую с формулой (3.16).
Таким образом, все одноточечные моментные функции интенсивности волны
внутри слоя флуктупрующей среды и корреляционные функции разного порядка
описываются одной квадратурой.
Выше мы подробно рассмотрели задачу в отсутствие поглощения (у = 0).
Учет конечности величины у будет рассмотрен в седьмом параграфе, а здесь
отметим только, что легко вычислить среднее значение уровня интенсивности
(х)У = <1п / (х)У при наличии поглощения *).
В самом деле, функция % (х), согласно (1.30), описывается выражением
и для нахождения среднего значения % (х) не требуется знания двухточечной
плотности вероятностей (иц, их). Усредняя (3.28) по <р, получаем
выражение
*) На это обстоятельство обратил мое внимание В. И. Гельфгат.
Формула (3.32) была нм получена ранее другим путем и доложена на научной
сессии Совета АН СССР по проблеме "Физическая н техническая акустика"
(Акуст. журн., 1975, т. 21, с. 483).
ОО
В,
У, х - "
О
о

(3.27)
L
р In [и (х) Jr Y(х) - 1 cos ф (х)]
(3.28)
L
<Х(*)>Ф = 1п/о - In (1 + ит) f- Jn (1 ь Ux) - 2у [ dlu{l).
(3.29)
л:
Из (3.29) следует равенство
<0С (Ф I*=i. = In I0.
(3.30)
210
Усредним теперь (3.29) по и и продифференцируем по х. В результате
получаем
-^г <Х(х)> = 2у<и(х-)У j'r In 11 -Ь w(x)J>. (3.31)
Для нахождения среднего значения в правой части (3.31) умножим уравнение
(2.8) па In (1 + и) п проинтегрируем по всем и ;> 1. Интегрируя по
частям, получаем выражение
~ <1п [1 -I- и (ж)]) = - 2у <и> -i- 2у + D.
Следовательно, независимо от краевых условий при х - 0, согласно (3.31),
(3.30), имеет место
<Х (ж)> = 2у -\¦ D, <х(х)) = 1п10--(2у ~'г D)(L - x). (3.32)
§ 4. О влиянии краевых условий на флуктуации интенсивности волны
В первом параграфе было получено стохастическое выражение для
интенсивности волны внутри слоя. Конкретные расчеты в предыдущем
параграфе ограничивались случаем, когда невозмущенная диэлектрическая
проницаемость (показатель преломления) в слое среды совпадает с
диэлектрической проницаемостью вне слоя. Случай разных значений
диэлектрической проницаемости дает возможность проследить за влиянием
краевых условий на статистические характеристики интенсивности волны и, в
частности. учесть наличие отражательной границы (либо от более плотной
среды, либо, для акустических волп, от вакуума). Ниже мы подробно
рассмотрим эти предельные случаи. Удобно воспользоваться записью величины
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed