Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 82

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 135 >> Следующая

и интеграл, получающийся из (3.5'), имеет вид
сс
я ехр {х - -J jj dy, Кп (|Х) ехр {- \i2L)
о
Г о , sin2u.r 1
X jcosi^x ^----------9а j =
[ </ (х)У при п= 1,
= [ </ (0) Т (х)} = </ (х)У - <Г (L) Т (х)У при п = 2 и т. д.
Отметим, что выражение (3.16) для </ (х)У было получено впервые в
работе [79]. При этом функция (J (ж)>, как функция переменных L, х,
удовлетворяет уравнению параболического типа
с) /Г. 1 S2 </> 1 д<Ъ /Ч4Г'\
-аГ^1> = -Г'-м-----------2-- (ЗЛ6)
с начальным условием
</ (х)> |i=J = яе* J ^ .^i1^ - {cos =
0
= х ch 2ж + ех ch 1 х.
3) к = 2,^к- 2/а - 4ф2 - 2е~",
+ 2?, = - 4 ("> + 4-) Г, + 2 (ц> + 4) "-*"¦
206
(3.16)
Следовательно,
f.2(x) = ~----1-~ cos 4ц,/' - s i и 4ii.r ;
(3.17)
! 4 ' 2 (1 ; (i2) f 2u (1 -- (I2) f ' 2 (1 J-[I2) v '
В этом случае интегралы (3.7), (3.5') будут описывать второй момент
интенсивности и корреляции квадрата интенсивности в точке ж с
коэффициентами прохождения и отражения волны:
-X
</%)> = -f p~L:i I dp ехр {- [i3/} (ц* ; - -f) (3f, (*) <><*-1),
П
(3.18)
(T-y = exp |4x - jjexp {- tfL) (ц4 -|- ~Л f2 (.r).
0
Отметим, что при L ->- оо иг^О О2) ' О2) = 3/2.
Таким образом, решая последовательно рекуррентную систему уравнений
(3.13), можно выразить соответствующий момент интенсивности через
единственную квадратуру. Интегралами такого типа, как мы видели выше,
описываются и корреляции I71 (х) с интенсивностью на границах слоя.
Рассмотрим теперь структуру возникающих выражений. Как мы видели
выше, моменты интенсивности волны внутри слоя среды описываются
интегралами вида
- ехр|м2х - Ц du Ы ехр {- и2/, + 2 in \хх} =
- сх
со
= ехР |-----y пгЩ (1 - |)| ^ d|A-|j^-0(|x)expf- L(p - inl)2},
(3.19)
где величина ? = x/L, а Ф (р) - алгебраическая функция параметра |i.
Если обратиться к асимптотическому случаю L ->- оо, | - фиксированная
величина (0 ^ | 1), то из выражения
(3.19) следует существование двух масштабов
таких, что при 0 ^ | *< величина О") экспоненциально мала. При 5i ^ ^
величина < i") экспоненциально велика, дости-
гая максимума в точке ? ^ 1/2, < Отах -ехр {--При
1 ;> ? Н2 величина < экспоненциально быстро стремится к единице. Все
вышесказанное относится к случаю п 2.
207
Исключение составляет случай п = 1, когда точки ^ и |2 сливаются и
распределение средней интенсивности носит монотонный характер. В пределе
(см., например, [79]) при L -> оо
О при I < Va,
<7(l)> = 0(|-1/s)= '
при
Va при 1 = г/ 2, ljj при g>72.
Отметим, что такой ступенчатый вид средней интенсивности связан с
выбором переменной ^ - х/L. В самом деле, при L ->- оо ширина переходной
области, как показано в [90],~ у' L. В масштабе же I она имеет вид 1/Jf L
при L оо. Первый масштаб определяется равенством п~\ (1 - 1) = 1/4, а
второй обусловлен
тем фактом, что в силу условия ' < Iй
(Ь)У -> 1 при L -> оо основной
вклад в интеграл (3.19) должен давать полюс цп= i (п - '/г) - При этом
контур интегрирования должен быть сдвинут выше значения цп, т. е.
< in\. Отметим, что с ростом п ^ 0, а ?2 1-
На рис. 15 схема-
тически изображено распределение моментных функций интенсивности волны
внутри слоя среды. Тот факт, что моментные функции интенсивности
экспоненциально растут внутри слоя, свидетельствует о наличии яЬления
стохастического параметрического резонанса, аналогичного обычному
параметрическому резонансу. Разница заключается в том, что, поскольку в
граничных точках моменты интенсивности заданы, экспоненциальный рост
происходит внутри слоя и максимальное значение достигается в его
середине.
Аналогично одноточечным характеристикам интенсивности
волны можно рассмотреть и многоточечные характеристики, такие, как
корреляции интенсивности в двух и более точках внутри среды. Они также
будут описываться квадратурой типа интегралов (3.16), (3.18). Найдем,
например, корреляционную функцию интенсивности Ву х = <Г (х) I (у)>, где
L > у > х. Тогда по определению плотности вероятностей перехода
со
Г* г- г" duxdu dU[
v'ж = jjj т"(1'+'ц f UxUyP (Uu L\Uv' yS)P (Uy' УIUx' ^
p*(u^- (3-20)
Рис. 15. Схематическое изображение поведения моментов интенсивности
внутри флуктуирующей среды (DL 1, /с= kL).
Подставляя в (3.20) интегральное представление для первой
208
функции р (2.11) и интегрируя по uL, получаем выражение
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed