Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
При этом можно, пользуясь плотностью вероятностей перехода
и одноточечной вероятностью и (х), q (х), вычислить все одноточечные
статистические характеристики интенсивности волны. Однако решить
уравнение для плотности вероятностей в этом случае затруднительно.
Рассмотрим подробно случай отсутствия поглощения, т. е. 7=0. Тогда
плотность вероятностей перехода и одноточечная плотность вероятностей
описываются формулами (2.11), (2.13), а нахождение одноточечных моментов
интенсивности сводится к квадратурам. Так, для величины Т1 (х) получаем
выражение
8п Ю
гДе gn (их) - полином по гг (ж) степени /г, и, следовательно,
00 ^ сс
Оп(х)У - [ .....^ чп \ duxgn (их) р (uL, L | их, х) Рх (их).
(3.5)
J (1 -г В, J
1 ь 1
Отметим, что все моменты величины I (0) = | Т |2, как было показано выше,
экспоненциально затухают с ростом толщины слоя L ->- оо, т. е. такой слой
среды в среднем полностью отражает волну. Моменты величины I (L) = 1 - |
Tf при L->-оо будут стремиться к единице. Рассмотрим теперь поведение
статистических характеристик интенсивности внутри слоя. Подставляя в
(3.5) выражение (2.11) для р, с помощью формулы (см., например, [50])
ос
§ (1 -'-х)п Р-'/2+? № = [ch^t Кп
1
= К1== 1,
(3.6)
можно выполнить интегрирование по ul и перейти к двукратному (по внешнему
виду) интегралу (здесь и далее до конца параграфа обозначено DL ->- L,
Z)a: ->- х):
ос
<7" (а:)) = я ехр -i- (L - я)} J d\x, ц, X
0
00
X Кп(\ь) ехр {- ц2 (L - х)} ^ du gn (и) Р-Чг+щ (и) Рх (и).
(3.7)
1
Поскольку I (0) = 1/(1 + и (L)), интеграл
00 оо
(* dUj (*
\ ----J-ir \ duxgi> (их) Р (UL, L | их, х) Рх (их)
(3.5')
J (1 : ит) J
1 ь 1
описывает корреляции коэффициента прохождения волны с интенсивностью
внутри слоя.
Дальнейшая задача заключается в вычислении внутренних интегралов в
(3.7) и (3.5'). Покажем, что их вычисление сводится к решению простой
системы дифференциальных уравнений. Для этого рассмотрим выражения
ОС-
f]s(x)=^duukP^/2+iil(u)Px(u) (к -0, 1, ...),
(3.8)
1
являющиеся преобразованием Мелера - Фока для функций икРх (и) (см. гл.
3). Дифференцируя (3.8) по х, используя уравнения (2.10), (2.12) и
интегрируя по частям, приходим к
204
уравнению
d/jf ~сЫ
где
= J du Рх (и) - (и* - 1) - A. ukP_, 2+i(l (и) =
1
= - + 4 - *'2 - *) /* г - А' (А- - 1) д._а (ж),
(3.9)
со
г|ч- (ж) = ^ du ц*-1 (м.2 - 1) рж (М) -A. /J_V2+i(i (и).
(3.10)
г
Дифференцируя теперь функцию -ф^- (х) по х, аналогичным образом
получаем уравнение для гр^ (х):
сс
f J Г" / \ ^ j ч d 1*1/ О 4 \ ^
dx
=- (^z j 4- -/c2 4-*) ^ +4) f* -
- (A - 1) (A - 2) ^_2 -f 2 (A - 1) (|x2 + 4) /fr_2.
(3.11)
Начальными условиями для (3.9) и (3.11) являются, очевидно, условия
h (0) = 1, %¦ (0) = 0.
Таким образом, функции /t (х) и a|)t (а:) связаны замкнутой рекуррентной
системой неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами, которую не представляет труда решить.
Представим решение (3.9), (3.11) в виде
h (х) = fk (х) ехр j- (У + 4 - А2) х\ ,
Г / 1 \ I (3-
12)
-ф,, (х) = ip* (х) ехр |- (У -1- ---А2) х |.
Тогда для f и (х) и гр,- (х) получаем систему уравнений
^ - kfk = 2/с% - к (к - 1) fft_2 ехр {-4 (к - 1) х},
= - 2А (У + 4") fk +'
+ (А - 1) [2(ц2+ 4)ffc-2- (Л - 2) ipj_2J ехр {- 4 (А - 1)ж}
(3.13)
с начальными условиями fk(0) - 1, ips (0) = 0. Отметим, что
соответствующее решение однородной системы таково:
fk (х) = A (|i) sin 2А цх -f- В (ц,) cos 2 кцх.
205
Рассмотрим простейшие случаи.
1) * = 0, = 0, f0 = l, /0(х) = ехр|-• (ц2+-|-)а:}.
(3.14)
Тогда интеграл, получающийся из (3.5'), равен
я ] ^ К" W ехР {- + х)1} = <1 Г I2"V
о
я2 У тс
X
<i Г 12,г> -> \,-KnerLl* при L ->эо,
iL -
^=1'
где Т - коэффициент прохождения волны через слой флуктуирующей среды.
2) /. = 1, #-/, = 2?" ?. + *._ф+
Следовательно,
/х (ж) = ехр J - ('(X2-1-) (cosг М 2^'} - (3-15)
