Прикладная лазерная оптика - Климков Ю.М.
Скачать (прямая ссылка):
6
Мр,(г, Ф)
!"Ь
2Р
V 8я N
С0в2(/ф),
(2)
где —(р+1)-й корень функции Бесселя h l-то порядка.
Таким образом, распределение интенсивности излучения иа плоскостях зеркал как для прямоугольных, так и для круглых зеркал оказывается сугубо неравномерным. Фаза колебаний также неравномерна в пределах площади зеркала. Вид пучка излучения, сформированного плоским резонатором, на различных расстояниях от выходного зеркала будет определяться дифракцией на этом зеркале. Приближенно дифрагирующую волну можно считать плоской. Поэтому представление о пучке, выходящем из .плоского резонатора, можно .получить, зная распределение поля по поверхности зеркала, пользуясь интегралом Кирхгофа — Френеля. Следует отметить, что в реальных системах наблюдается распределение, соответствующее прямоугольным зеркалам, даже если зеркала резонатора круглые.
Симметричный конфокальный резонатор (gi = g2 = 0). Этот резонатор, как и плоский, также является устойчивым.
Симметричный конфокальный резонатор образован двумя одинаковыми сферическими зеркалами (рис. 3) так, что фокальные плоскости обоих зеркал совпадают и находятся в середине резонатора. Одна из основных особенностей симметричного конфокального резонатора заключается в том, что исходные интегральные уравнения, описывающие распределение поля на зеркалах резонатора, допускают аналитическое решение. Распределение поля при условии N^> 1 не зависит от поперечных размеров резонатора. Поле конфокального резонатора сконцентрировано вблизи оси.
Поле конфокального резонатора в любой точке (х, у, г) как внутри резонатора, так и вне его можно определить через поле на зеркале с помощью интеграла Кирхгофа. Поле бегущей волны вне резонатора (внутри резонатора устанавливается стоячая волна) описывается выражением
Е,п.п (*• У< 2)
". Н„
’-Vт
(т+')г(т+1)
exp X
( - 2х ¦ 1 | и ( Jv. _Л
1 w0 У 1 + I2 ) 1 Ч WoVTl p-J
(х2 + у2)
t^(l + E2)
ехр
№
MI+S) +
1(х2+у2) М1 + Е2)
-)-«(!+ т + п) arctg
1 + Е 1-Е
+
(3)
где Ев — множитель, нормирующий распределение поля на зеркале (амплитуда поля в центре зеркала для мод с четными индексами); Шо — масштаб распределения поля; ? = 2z/L — относительная продольная координата, отсчитываемая от центра резонатора; //,„(?) и //»«) — полиномы Эрмита.
7
Распределение .поля в конфокальном резонаторе иа зеркалах круглой формы описывается выражением.
где р — радиальный, .а I — азимутальный индексы типа колебаний;
Азимутальное распределение поля в модах высшего порядка соответствует гармоническому закону. Кольцевая зона сечения пучка содержит 21 узлов (минимумов). Радиальное распределение получают из выражения (4). Изменение поля по продольной координате имеет тако1"1 же характер, как для прямоугольных зеркал.
Выражение (3) показывает, что амплитуда поля на оси пучка (х=у~0) уменьшается при удалении от резонатора по закону (1+?2) *^2. При эта зависимость переходит в обратную про-
порциональную зависимость, характерную для гомоцентрического пучка. Характер распределения поля данной моды в любом сечении пучка (?=const) остается постоянным, изменяется лишь масштаб распределения. Масштаб распределения является функцией продольной координаты:
Выражение (5) определяет форму пучка излучения. Пучок имеет минимальный масштаб (размер) в сечении резонатора, совпадающим с его серединой (г=0). Минимальное сечение пучка называется перетяжкой. Зависимость размера сечения пучка от продольной координаты определяется гиперболой (5).
Поверхность равной фазы определяется фазовым членом в выражении (3). Если приравнять фазу в произвольной точке поверхности (х, //, г) фазе в точке пересечения эквифазной поверхности с осью пучка (0, 0, гс), то можно получить уравнение эквнфазной поверхности, которая вблизи оси может быть заменена сферой радиусом
В соответствии с правилами знаков, принятыми в оптике, знак минус указывает, что выпуклая сторона сферы обращена в сторону положительных значений г.
Резонатор произвольной конфигурации. Конфигурации рассмотренных выше резонаторов соответствуют границам устойчивости. Поэтому на практике наиболее часто применяют резонаторы, которые не являются ни плоскими, ни конфокальными.
Расчет распределения поля таких резонаторов представляет собой сложную задачу. Интегральные уравнения, которые используются для определения свойств резонаторов, при произвольных значениях параметров конфигурации не решаются. Существуют, однако, приближенные аналитические методы н методы численного решения интегральных уравнений с использованием ЭВМ, Численны?
(Р2) — полиномы Лагерра.
Wz = Wu V1 -f |2 .
(5)
8
Методы дают более точное решение задачи, необходимый фактический материал и служат критерием правильности аналитических методов, которые, в свою очередь, позволяют определить свойства резонаторов при изменении их конструктивных параметров в широком диапазоне.
Одним из методов, пригодных для оценок распределения поля в резонаторе произвольной конфигурации, являете;, так называемый метод эквивалентного конфокального резонатора. Этот метод основан на следующем. Рассматривая распределения фазы колебаний на зеркалах резонатора произвольной конфигурации, полученные либо численными, либо аналитическими методами, можно видеть, что фаза слабо изменяется по поверхности зеркала. Отдельные локаль- • ные участки сильного изменения фазы, характерные для мод высшего порядка, не существенны, так как они соответствуют малым значениям амплитуд поля. Поэтому исключение этих участков из поверхности отражателя мало повлияет на интеграл Кирхгофа, из которого получают исходные интегральные уравнения. Таким образом, можно полагать, что отражающие поверхности зеркал произвольного резонатора почти совпадают с волновыми фронтами пучка излучения*
