Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
г, и, р, д, значения температуры Г считаются неизменными -
"замораживаются". Во второй группе находятся Г и W при заданных значениях
г, р. Система линейных алгебраических уравнений, получающаяся в каждой
группе, сводится к одному уравнению: в первой группе -
для
Ъи, во второй - для ЪТ. Эти уравнения получаются из (23.13) и
(23.23),
если положить bl2 ~ с{2 = a21 = с2 { =0;
F2 = - U + fto fi +^Tir2fs)-. .
Остальные коэффициенты и F j определяются по формулам (23.14) и
(23.24) :
a\\,i&ui-\ ~cl\,i&ui*b\\,i&ui+l ~ ~ ^ \. i> \ .
t (23.32)
э22,/5Г/_1 -С22,/5Г/ + Ь22,/5Г/+1 F 2,/. )
Трехточечные разностные уравнения (23.32) решаются методом скалярной
прогонки, алгоритм которой совпадает с алгоритмом матричной прогонки
(23.-27), (23.28) для нахождения вектор-функции единичной размерности.
Процедура итераций внутри каждой группы полностью аналогична случаю
матричной прогонки. Внешний итерационный цикл сходится достаточно быстро.
На практике ограничиваются тремя-четырьмя итерациями.
Преимущества метода раздельных прогонок - использование небольшого объема
оперативной памяти и простота программной реализации. Основным его
недостатком является заметное ограничение на временной шаг, возникающее
из условия сходимости внешнего итерационного процесса. Это приводит к
большим затратам машинного времени по сравнению с методом матричной
прогонки.
Метод последовательных прогонок становится особенно неэффективным в
случае сильной нелинейной зависимости коэффициента теплопроводности от
температуры (к Г(r), а > 3) (Ю.А. Повещенко и др., 1981).
6. Граничные условия. Рассмотрим способы задания граничных условий.
Пусть расчетная область занимает по радиусу интервал от г = О до г - Rо,
где R0 - радиус звезды. Соответственно, массовая лагранжева
М0
координата 0 <s < S0 --------- , где М0 - масса звезды. Тогда
граничные
4я
условия имеют следующий вид:
ЪТ
и (0, 0 = 0, ---- (0, 0 = 0 (23.33)
ds
- условия симметрии при г = 0;
PiS0, f) = 0. t-HSp, f) = аГ4 (So, t) (23.34)
142
- условия на свободной поверхности звезды, о - постоянная Стефана -
Больцмана.
Краевые условия (23.33) и (23.34) встречаются в теории звездных
пульсаций.
При формулировке разностной задачи эти условия аппроксимируются
естественным образом:
и ,/+1 =0,
тГ'-т>+' =0.
>/+| =
0, wj*_\ -alT^') =0.
/ + I
(23.35)
(23.36)
В соответствии с замечанием, сделанным в конце § 22, граничные условия
(23.35) и (23.36) записаны на расширенной сетке, дополненной слева и
справа фиктивными интервалами h{ = 0 и hN = 0. Заметим, что граничные
условия аппроксимируются с первым порядком точности 0(h).
Применение метода Ньютона к уравнениям (23.25) дает граничные условия для
приращений на к + 1-й итерации:
к +1
к + I
к + I
5 их = 0, 5 Тх -Ь Т2 =0.
(23.37)
Используя уравнения системы (23.4) и полагая псевдовязкость на границе
равной нулю, выразим граничные условия (23.36) через приращения
температуры и скорости. Применяя метод Ньютона к уравнению
г/+1
3. /V - I
/ +1
"UN- 1
p'+l
N ¦
p/+ 1
N - I
l/Y- |
PN~PN- I 1 4*Gs0
(1_a) _* "_L I + -o
л/ -1 j
(23.38)
- 1 ГЛ/ - 1
и используя (23.11) и (23.12), с учетом граничного условия Р/у = 0
получаем:
а\ \, yv - I 6*7/у -2 - с 1 1 , /V - 1 6*7Л/ _ | - С | 2 , Д' - | 6 7"/
N- 1
= - р
1, УУ 1 -
(23.39)
где ам, Cn,Ci2,F\ вычисляются по формулам (23.11), в которых полагается
Р/у = 0, Г2/у = - | =0, а/у = 0.
Рассмотрим второе уравнение из (23.36)
г/+|
//+|
к + 1
к + 1
5 - I -4a(r")35 TN =
(23.40)
к + I
Подставим в (23.40) выражение для 5 V\/N_{ из (23.18):
г 1 , /V - I
5Г/
Л/- 1
+ d
2 , УУ - I
где
yv- I'
57"/v - ^3, /v i 6*7/v_ | - - c^4 /v_ | , (23.41)
^3, yv- I ~ r(*r7V/v-^4,/V-l - ^з, /V- I + U 1 , yv- 1 •
Здесь bi,b2,b3 вычисляются в узле /V- 1 по формулам (23.19).
143
Далее запишем разностное уравнение (23.23) на расширенной сетке при / = N
- 1:
Исключая из (23.41) и (23.42) &TN. получим второе граничное условие:
Таким образом, уравнения (23.37), (23.39) и (23.43) задают граничные
условия для системы разностных уравнений (23.13), (23.23). Эти граничные
условия можно записать в матричном виде (23.26), где
Аналогично, нетрудно получить граничные условия для алгоритма раздельных
прогонок.
В предыдущих параграфах были рассмотрены основные принципы построения
разностных схем одномерной нестационарной газовой динамики, получено
семейство полностью консервативных разностных схем, описаны алгоритмы для
их численной реализации. Однако даже при полной ясности алгоритма
составление программы, отладка и проведение расчетов вызывают
определенные трудности.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые примеры реализации
вычислительного алгоритма, которые обычно используются в вычислительной
практике, а также приведем пример применения полностью консервативных
разностных схем к расчету ударных волн в атмосфере Солнца.
1. Обезразмеривание задачи. Один из первых шагов при составлении
вычислительного алгоритма состоит в приведении системы уравнений,
