Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
только от значений сеточных функций на к-\л итерации и определяются
формулами
С\ 1,/ = 1 + *i,/ + + */) ~ (Ь/+| +6/)],
i, / = 01 \, /(э/+ 1 г/+1 с I 2, / = ~ а 1, / ^ Т, I¦ ^12,/ = ~а1,/ & Т,
i
- +1 ),
/+1
(О;)
Fi,i = -f$,i- TF(fx + Tflf v (f6i, + rf fx t ,) + ar/?/ (pp У + f7 )v,
где
<*!,/ =
oltR,
V
a, =
rP/Pp.
a,, /= 0,5r {r/9§
(<*)
fi),
bi
2hi ' Л,
Далее выразим 5?, 5p, Ък, Ъ\Л/ и 6е через Ъи, ЪТ и 6р: 6? = ?р6р + ?гб7--
/г1С)\
50 =0р5р + (5iy)_ + 3>тЪТ- fn,
Ък = КТ ЪТ+К'тЪТ(+ 1) -f8.
(23.14)
(23.15)
(23.16)
(23.17)
где
bW=-(bxK'T + Ь2)ЪТ(+ 1) + (62 - КтЬх)ЪТ -т{кгТ*)Ьи(23.18) Ъе = Ър + 3(т
ЪТ - f9,
(23.19)
_ v,2
/?! = Г; 7"v, Ь2 = 1 is L
63 = f5 - 2(/ггГу)?, -(rJrv)^8.
(23.20)
Подставим (23.15) - (23.20) в четвертое уравнение из (23.7):
С\Ьр + с2бГ + ат (-) ^|((5о)т +/3r2(r(^6u)_ + 0г(г2й(У)_ =с3 V Р / /
5
где
/ 1 \ <7(а)
9Р г -/ЗтЗСр,
(23.21)
с, = ?р +ат [ - | 1
с2=8у+ат(-j SJT -0тЗСт. с3 = - + f, 0 - Prf9 + ат
f7 +2PT(rWf,) .
(23.22)
139
Наконец, подставляя (23.9) и (23.21), получаем второе уравнение,
связывающее ди и 6 Г:
а2 I , / ^ ui - I " с2 I , / ^ Uf + Эг 2 , / & 7"/ - I " с2 2 , / ^ 7"/ +
+ ^2 2, / ^ 77+ | = F2 , / "
(23.23)
где
э2 I , / " 01 di - I + ^1 , / - ^2 J r/~ I /
с2|," = 0irf/ +ofi,/ /'¦/.
322,/ =0i fi-i. с22>,- =c2i/ +0, (е,_, + f(), 622>(- =(3,е,-,
(Зг ат / 1
Pi = --, dt j = -
Л, Л,-
Пь
<У2>(- =0,5 тр?
hi
di =тЩ-г]к,Тv),
е, =r?(62 +^V6il/-fi = r2j (b2 - К j-hi )|,
F2,i=C3,i + C|,/V',• + 0r(/-г63)-
fit/(• 5r,•
(23.24)
Введя вектор-функции У,- =
Л- =
"2, /
, перепишем систему
(23.25)
(23.13), (23.23) в матричной форме:
-CiYi + B'Yi+l = -Fi, /=2,3 /V - 2,
где
/ 3,1 (r) \ / 1 ^12 ^ ^ I Ctl °12
I ' _ ( /-" ь / ' I
\ Э2 1 a22j V ^2 1 ^22 / \ С21 с22
Граничные условия для системы (23.25) в общем случае можно записать в
виде
- С XYX + В х Y ^ = - F{, AN _ | F/v _ 2 -C/v_iF/v_, = - _ i. (23.26)
Конкретный йид матриц Cj, Bx, AN__ ,, C/v_ i и векторов Fj, F^_ j зависит
от постановки задачи.
4. Метод матричной прогонки. Для решения векторного разностного
уравнения (23.25) с граничными условиями (2326) применяют метод матричной
прогонки (А.А. Самарский, 1977). Суть этого метода заключается в
следующем. Сначала по рекуррентным формулам определяются так называемые
прогоночные коэффициенты - матрица а,- и вектор ft (прямая прогонка) :
a,=Ci-lBi, Pi=Cr'F.
а,- н = (С,- - 4, а,) Bj, / = 1,2 /V - 2,
Pi-м = (С,-4,-а(Г' (Fi+Aifii), /=1,2.......N- 1.
(23.27)
140
Затем также по рекуррентной формуле определяется неизвестная вектор-
функция К,- (обратная прогонка) :
Y/v-1-P/v. ) (23.28)
У,- -al+i У1 + 1 +(3,ч-|, i = N - 2, N - 3....1. I
По ходу вычислений приходится обращать матрицы второго порядка.
Опишем вкратце вычислительный алгоритм. На каждом новом шаге по времени в
качестве нулевого приближения (к - 0) используются значения сеточных
функций, полученных на предыдущем временном слое. Затем
к к
по формулам (23.14) и (23.24) определяются элементы матриц А(, Bit
к к
Ci и вектора F( (к = 0). Решив уравнение (23.25) с помощью алгоритма
а +1 *+i
матричной прогонки (23.27) и (23.28) и найдя приращения 5 и , 5 Г , по
формулам (23.8) - (23.12) и (23.15) - (23.20) можно вычислить
к +1 А +1 k + l А +1 * + 1 * + 1
приращения остальных функций 5 г , 5 р , 5 R , 5 д , 5 ? , 5* к ,
к + 1
5 W' (А: = 0).
/с + 1 А А +1
Далее по общей формуле у =/+5 у (к = 0) определяются значения неизвестных
функций на первой итерации - следующее приближение к решению на / + 1-м
слое. Затем процедура повторяется: снова вычисля-
А А А А
ются Aif Bit Q, Fj (к - 1), определяются приращения функций и
их значе-
ния на второй итерации.
Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено заданное число
итераций или не будет достигнуто условие сходимости итераций
I /У - К/I < е, I Уi I +б2 (23.29)
для всех /. Здесь у,- либо ut, либо 7",-; - относительная точность.
Малое
число е2 добавляется, чтобы условие (23.29) правильно работало в случае
А
У, = о.
Обычно полагают = 10-4, е2 = 10"6. Сеточные функции, определенные на
последней итерации, дают искомые значения на / + 1-м временном слое.
Для алгоритма матричной прогонки требуется значительный объем оперативной
памяти ЭВМ и довольно сложная программная реализация.
5. Метод раздельных прогонок. Более простой алгоритм можно построить
на основе метода раздельных прогонок (А.А. Самарский и др., 1968). Суть
его заключается в следующем.
Разностные уравнения (22.31) разделяют на две группы:
I. "Динамическая группа":
/Пс\ 1 ¦ 3 /q\ 4тг Gs
rt~ u( , (л3) =-, Ut = -Rgx -
S п • -S rr
g = P + со, to = П(р, U-), R = ¦ P= (p. T).
(23.30)
141
II. 'Тепловая группа": Е, = -д(а) (-1 - (г-
Pit
W= - кг Tv, ?=?(р,Г),
S
к = К (р, р (+ 1), Т, Г(+ 1)), е = Ж(р, Т) .
(23.31)
Уравнения каждой группы решаются независимо итерационным методом Ньютона
(внутренние итерации) с последующими дополнительными (внешними)
итерациями между группами. В первой группе определяются сеточные функции
