Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
областях. В частности, у поверхности звезды в областях низкой
' и2
плотности вклад тепловой энергии Е в величину полной энергии Е +--------
4 irGs ^
--------мал. В такой ситуации вычисление температуры с помощью раз-
г
ностного аналога уравнения (21.12) приводит к большой ошибке (Д. Поттер,
1975). С этой точки зрения для построения разностных схем
предпочтительным является использование недивергентного уравнения энергии
(21.7) . Однако, как уже отмечалось, разностные схемы с недивергентными
уравнениями энергии приводят к неудовлетворительному расчету ударных
волн. Принцип полной консервативности позволяет записать разностную схему
с недивергентным уравнением энергии таким образом, что в ней
автоматически будет выполняться разностный аналог сохранения полной
энергии.
Полностью консервативная разностная схема для уравнений (21.4) -
(21.9) будет построена в следующем параграфе.
Обзор наиболее важных разностных схем газовой динамики содержится в книге
Б.Л. Рождественского и Н.Н. Яненко (1978), проблема их классификации
рассмотрена в статье Н.Н. Яненко и др. (1980).
§ 22. Разностная аппроксимация уравнений газовой динамики
1.Разностная схема с недивергентным уравнением энергии. В расчетной
области (0 <s <S0, t > 0) введем неравномерную разностную сетку с целыми
и полуцелыми узлами s/ ns.+ ,, i-
= 1,2, . . . , N - 1. Определим шаги сетки ht = s,- - s,- _ j между
целыми узлами и h/ = Sf. + 1 - s. _ i - для полуцелых узлов. Сетка по
времени: tу + , =
= Г/ + ту, У = 0, 1-
Будем относить к целым узлам сетки (sf-, tj ) сеточные функции скорости
и( = и (sf-, tj ), эйлеровой переменной г \ = r(s,-, tj) и теплового
потока Wf - W(Sj, tf ), а к полуцелым точкам (s/+ j_, tj ) - сеточные
функции давления Р\ = Р (s. _ j_, tj), плотности р/ = р (s. _ JL , f/),
внутренней / 2 * 2
энергии Е{ = Е (s. tj ) и температуры Т! = T(s. _ ± , tj ). На шаблоне,
изображенном на рис. 46, построим для уравнений (21.4) - (21.9)
разностную схему с весами
7+1 _ J
---------' = + ' + (1 - a,) ujt
(22.1)
т
3
(22.2)
т
(22.3)
(22.6)
127
(22.5)
(22.4)
Рис. 46. Шаблон, используемый для расчета параметров газа методом
конечных разностей.
Здесь 0 <tOk < 1, к = 1,. . . , 4 - весовые множители, и /?2 - неко-го-
рые функции величин rj и rj, аппроксимирующие выражения г2 (конкретный
вид этих функций будет определен позднее), к[*1 =
~ - - - интерполяция сеточной функции кt
hi + hi+ {
Т} + х) с (21.1) - (21.3) :
= K(pj + l, Tj + X) в целые узлы. Функциюд аппроксимируем в соответствии
/+1 _ /+1 /+1 9i ~ Pi + <*i -
где
/ + 1
vPi
/+|
./+l
./+1
2 \ hi
в случае линейной вязкости или
#/+l -V+l
/+1 /+1 PPi /+1 /+1 ""/-1 [ иГ-иЩ "/+,-V-V
(О,- ' 2 hi [ ~ - hi
в случае квадратичной вязкости.
Запишем разностную схему в безындексных обозначениях:
г, =
3
Is '
(г3),:
(22.7)
(22.8)
(02 )
47t6s
(22.9)
= j -(r2W)±°4) +е(о-),
И'=-Аг,л2 7V
Р=-?(р,Т), Е = &(р, Т), е = ЗС(р/Г),
=К(р,р{+ 1), Г, Г(+ 1)), р = Я + со, co = fi(p,t/,u(-1)).
(22.10)
(22.11)
128
vp
?1 = (u_ - j и- I) - линейная вязкость,
2 s s
цр
?2 =------| u- | (u- - | u- |) - квадратичная вязкость.
2 i i j
При записи использованы безындексные обозначения разностных производных:
у- - ---------- -1 для сеточных функций, определенных в целых
5 hi
yi + \~yi
узлах, Kv = ---------- для сеточных функции, определенных в полуцелых
5 ft/
узлах. >
2. Условие полной консервативности. Попытаемся преобразовать
разностную схему таким образом, чтобы уравнение энергии приняло
дивергентный вид. Будем поступать аналогично преобразованиям, которые
были проведены в предыдущем параграфе для дифференциальных уравнений.
Для этой цели нам потребуются формулы разностного дифференцирования
произведения сеточных функций
(yv)- =yv~ +y-v(- 1) = у(- 1) v~+ y-v, ,
* * * * I (22.12)
(yv), = yv, + vy" формула перехода от одного веса к другому
к<">=к(0) + (а-0)гн, (22.13)
и формула
(К~) = (Кг)-- (22.14)
s t S
Если сеточная функция yj = K(s._l , f/ ) определена в полуцелых уз-
1 2
лах, то ее значения в целом узле / будем определять по формуле линейной
1 1
интерполяции между близлежащими полуцелыми узлами / + - и /--------------
---:
. . ^+1У, + Ь,У1*1 2 2
у, = у(s(, tj) =------------- . (22. 15)
hj+hi_i
Нам понадобится также формула разностного дифференцирования произве-дения
сеточных функций vy+
1
(vyt) =vry +- [ику+ и(- 1) (у(- 1))у]. (22.16)
а а 2
Формулы (22.12) - (22.16) легко проверить, если записать их в индексных
обозначениях.
В начале преобразований схемы получим разностное уравнение неразрывности,
аппроксимирующее (21.10). Для этого возьмем разностную производную по
времени от уравнения (22.8)
( 1 \
С помощью (22.14) и (22.7) получим
(Я?/К>)_, (22.17)
7).
где R - (г2 + гг + г2 ) /3.
Теперь, следуя преобразованиям в § 21, получим разностный аналог
формулы (21.11). Умножим (22.9) на*/0,5* =0,5(*у+*у) и преобразуем
отдельные слагаемые следующим образом:
(о 5) (й + и) (й-и) и2 -и2 ( и2 \
