Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
схемы в газодинамике можно рассматривать как замену непрерывной среды,
подчиняющейся дифференциальным уравнениям, некоторым ее дискретным
аналогом, который эволюционирует по законам, описываемым разностными
уравнениями. Эта модель должна отражать основные свойства среды и
правильно передавать физические особенности изучаемых процессов. Разумно
требовать в первую очередь выполнения в дискретной модели разностных
аналогов законов сохранения массы, импульса и энергии, которые лежат в
основе уравнений газодинамики.
Разностные схемы, в которых выполнены разностные аналоги законов
сохранения, называются консервативными. На важность принципа
консервативности разностных схем указали в начале 50-х годов А.Н. Тихонов
и А.А. Самарский. Ими построен пример (А.Н. Тихонов, А.А. Самарский,
1961), когда неконсервативная разностная схема для линейного уравнения
теплопроводности, обеспечивающая второй порядок аппроксимации на гладких
решениях, расходится в случае разрывного решения. Свойство
консервативности является необходимым условием сходимости для широкого
класса задач.
Консервативная разностная схема для уравнений газодинамики может быть
получена путем разностной аппроксимации дивергентной формы уравнений.
Важно, что данный способ аппроксимации обеспечивает выполнение в схеме
соотношений Гюгонио на разрывах.
При расчете ударных волн методом искусственной вязкости преимущество
консервативных разностных схем становится менее очевидным. Тем не менее,
поскольку в расчетах стараются получить максимально крутые фронты ударных
волн ("размазанные" всего на несколько разностных узлов), свойство
консервативности остается полезным.
Целесообразность использования консервативных разностных схем для решения
задач газовой динамики убедительно показывают тестовые расчеты ударных
волн. Особое преимущество консервативных разностных схем выявлено при
расчете ударных волн в неоднородной среде (D.G. Colom-bant, J.H. Gardner,
1976). В этой работе в качестве теста выбрана задача о распространении
сильной ударной волны в среде с экспоненциально изменяющейся плотностью.
Результаты расчетов сравнивались с известным автомодельным решением (Я.Б.
Зельдович, Ю.П. Райзер, 1966). Оказалось, что только аппроксимация
уравнения энергии в дивергент-
125
ной форме дает правильный результат, в котором скорость ударной волны не
зависит сильно от изменения коэффициента искусственной вязкости или шага
разностной сетки. При использовании недивергентных форм уравнения
энергии, хотя и удается подобрать подходящее значение коэффициента
псевдовязкости, но это значение сильно зависит от шага сетки и параметров
задачи. Таким образом, в этом случае консервативная разностная схема
оказывается единственно приемлемой.
5. Полностью консервативные разностные схемы. Консервативная
разностная схема газовой динамики имеет дефект, который в ряде задач
становится существенным. В ней оказываются нарушенными балансы отдельных
видов энергии - внутренней и кинетической. Причина этого заключается в
том, что разностное уравнение, аппроксимирующее уравнение энергии в
дивергентном виде (21.12), вообще говоря, не может с использованием
остальных разностных уравнений быть сведено к соотношению,
аппроксимирующему уравнение для внутренней энергии
(21.7). В ходе преобразования в разностном уравнении появляются
остаточные члены, приводящие к нарушению баланса внутренней энергии.
Такие энергетические дисбалансы в схеме можно рассматривать как
присутствие в дискретной модели некоторых источников энергии, имеющих
чисто разностное происхождение, вследствие "рассогласованности" отдельных
разностных уравнений. Этот дефект очень опасен, так как может привести к
неправильному счету температуры. Величины энергетических дисбалансов
зависят от характера решения. На гладких решениях они невелики - порядка
погрешности аппроксимации, но в случае сильно меняющихся решений (ударных
волн) могут быть сравнимы с величиной внутренней энергии.
Аналогичная ситуация имеет место и при использовании в разностной схеме
недивергентного уравнения энергии (21.7). В этом случае в разностной
схеме будет нарушен закон сохранения полной энергии.
Оказалось возможным построить разностную схему, в которой выполнялись бы
не только разностные аналоги основных законов сохранения (массы, импульса
и энергии), но и дополнительные соотношения, выражающие баланс по
определенным видам энергии. Схемы, обладающие этим свойством получили
название полностью консервативных разностных схем (Ю.П. Попов, А.А.
Самарский, 1969). Полностью консервативные разностные схемы прошли
многолетнюю проверку на практике и показали высокую надежность (А.А.
Самарский, Ю.П. Попов, 1980).
В задачах гравитационной газодинамики требование полной консервативности
приобретает особое значение. Дело в том, что в этом случае использовать
обычные консервативные схемы не всегда удобно, так как в звездах значения
гравитационной и тепловой энергии могут сильно различаться в разных
