Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
трудности алгоритмического характера из-за сильно услож-. няющейся логики
расчета особенностей. Это затрудняет реализацию метода характеристик на
ЭВМ.
Другой способ численного решения уравнений газовой динамики основан на
принципе однородности разностных схем (А.Н. Тихонов, А.А. Самарский,
1961), который заключается в требовании единообразия вычислительного
алгоритма. Разностные схемы, которые записываются одними и теми же
формулами во всех узлах разностной сетки, независимо от наличия и
характера особенностей решения, называются однородными, или схемами
сквозного счета. При таком подходе точность расчета разрывных решений
выступает в качестве дополнительного требования к вычислительному
алгоритму.
В одном из методов получения однородных схем газовой динамики разностную
аппроксимацию интегральных законов сохранения строят так, чтобы
получающаяся разностная схема вносила диссипацию (аппроксима-ционную
вязкость) на разрывах. Таким способом удается стабилизировать расчет
разрывных решений. Данный подход реализован, например, в разностной схеме
"распадов разрывов" (С.К. Годунов и др., 1976).
2. Метод псевдовязкости. Наиболее распространенным приемом построения
однородных разностных схем в газодинамике является метод искусственной
вязкости или, иначе, псевдовязкости. В этом методе в систему разностных
уравнений газодинамики вводят некоторые дополнительные диссипативные
члены, моделирующие действие реальной вязкости в ударных волнах. Введение
искусственной вязкости позволяет приближенно описать скачок на фронте
ударной волны гладким переходом на протяжении нескольких пространственных
шагов сетки. При этом фронт ударной волны проявляется как область
относительно быстрого изменения параметров газа. Скорость перемещения
этой области совпадает со скоростью ударной волны, а изменения
термодинамических величин в ней - со скачками на фронте ударной волны. Но
протяженность самой области перехода существенно превышает реальную
ширину фронта ударной волны, измеряемую несколькими длинами свободного
пробега в газе.
Формально псевдовязкость вводится как добавок к давлению, так что в
уравнениях газодинамики (6.9*) - (6.13*) вместо Я входит сумма
где со - "вязкое" давление, зависящее от плотности, градиента скорости и
шага разностной сетки.
Наиболее часто рассматриваются два типа вязкости:
а) линейная вязкость
д = Р + со,
(21.1)
(21.2)
123
HP du
w " ~~~T ds
б) квадратичная вязкость
Ъи Ъи \
-------------. (21.3)
ds 3s I
Видно, что искусственная вязкость работает лишь на фронте ударной
Ъи Ъи
волны, где - < 0. В волнах разрежения > 0, и функция со = 0.
ds ds
Таким образом, система уравнений газодинамики (6.9*) - (6.13'),
описывающая одномерное сферическимимметричное движение газа с учетом
переноса тепла лучистой теплопроводностью и внутренних источников
энергии, после введения искусственной вязкости перепишется так:
Ъг
и, (21.4)
dt
Эг3 _3_ ds р'
Ъи d g 4irGs
(21.5)
-г2
(21.6)
dt ds г2
ЪЕ Э /1 \ d(r2W)
= -9- И---------------------+ <21*7>
dt dt [р I ds
, ът
W = -кг ------, (21.8)
Э s
где g определяется соотношениями (21.1) - (21.3), W - тепловой поток, к =
кт р, кт - коэффициент лучистой теплопроводности, е = Ж (р, Т) - мощность
внутренних источников энергии.
Замыкают систему уравнения состояния
Р =^(р, Т), Е = fi(p, Г). (21.9)
3. Законы сохранения. Напомним, что уравнения газодинамики имеют
определенный физический смысл.
Уравнение (21.5) выражает закон изменения объема фиксированной массы
газа. При использовании эйлеровых координат вместо (21.5) записывается
уравнение, выражающее закон сохранения массы. При записи уравнений
газодинамики в массовых лагранжевых координатах закон сохранения массы
выполнен автоматически. Уравнению (21.5) можно придать форму уравнения
неразрывности
3 /1\ Э ,
- - = - (гги). (21.10)
Э t\p) ds
Для этого нужно продифференцировать (21.5) по времени и использовать
(21.4).
Уравнение (21.6) представляет закон сохранения импульса.
Уравнение для внутренней энергии (21.7) также имеет непосредственный
физический смысл : оно показывает, что изменение внутренней энергии газа
происходит за счет работы сил давления и потоков тепла.
124
Преобразуем (21.7). Умножив предварительно уравнение движения
(21.6) на и, получим соотношение
Э / и2 AirGs \ Ьд
- ---------------I = -г и -, (21.11)
bt \ 2 г I bs
которое означает, что изменение суммы кинетической и потенциальной
энергии единицы массы газа происходит за счет работы газодинамической *
Ъд 1
силы: - г* -=----------. Складывая (21.7) и (21.11) с учетом (21.10),
bs р Ьг
получим
Э I и2 4nGs \ b " Ь(г2т
- ? + --------------=---------[г2 ид)-----------+ 6. (21.12)
bt \ 2 г I bs bs
Последнее уравнение, представленное в дивергентном виде, выражает закон
сохранения полной энергии. Таким образом, уравнение энергии может быть
записано в равноправных формах (21.7) и (21.12).
4. Принцип консервативности разностных схем. Построение разностной
