Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Исследование устойчивости - важнейшая задача теории разностных схем (А.А.
Самарский, А.В. Гулин, 1973). В общем случае исследовать устойчивость
разностных схем газовой динамики вследствие их нелинейности не удается.
Поэтому ограничиваются рассмотрением линейного акустического приближения.
Таким образом, об устойчивости той или иной разностной схемы газовой
динамики судят по ее анализу в линейном приближении.
Устойчивость разностной схемы в случае функции двух переменных может
определяться соотношением между шагами сетки Лит. Разностная схема
называется условно устойчивой, если она устойчива лишь при наличии связи
между Л и т. Схема, устойчивая при любых Лит, называется абсолютно
устойчивой.
Оказывается, что явная схема для уравнения теплопроводности (20.10)
явная схема (20.11) устойчива при любых Лит (абсолютно устойчива).
Неявная схема с весами (20.12) при о > 0,5 устойчива при любых Л и т,
параметр о управляет не только порядком аппроксимации по времени, но и
устойчивостью схемы (20.12).
т
1
а при 0 < о < 0,5 условно устойчива при- < ---. Таким образом,
121
§ 21. Особенности разностных схем для уравнений газовой динамики
Главная особенность уравнений газодинамики состоит в их нелинейности,
тогда как теория разностных схем развита в основном для линейных задач. К
нелинейным разностным схемам газовой динамики, вообще говоря, неприменимы
основные понятия и выводы теории разностных схем относительно
аппроксимации, устойчивости и сходимости. Следует, однако, отметить, что
эта теория дает правильное понимание основных особенностей расчета
нелинейных газодинамических течений.
При построении разностных схем для уравнений газовой динамики наряду с
выводами линейной теории широко используются различные качественные
соображения и эвристические принципы, не имеющие строгого математического
обоснования. Поэтому основным критерием качества разностных схем служит
их апробация в расчетах тестовых задач на ЭВМ. Как правило, в качестве
теста берется упрощенная постановка задачи, близкая к исходной задаче и
имеющая аналитическое решение. Сопоставление результатов расчетов с
точным решением позволяет сделать выводы о точности разностной схемы,
устойчивости, скорости сходимости.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые принципы построения разностных
схем для уравнений газодинамики.
1.Общий подход к построению разностных схем газовой динамики. Применение
метода конечных разностей к задачам газодинамики приводит к некоторой
модели сплошной среды. Такая модель содержит новые параметры - шаги
разностной сетки по пространству и времени. Процессы в дискретной модели,
описываемые разностными уравнениями, вообще говоря, отличаются от
соответствующих процессов в непрерывной среде. В некоторых случаях это
приводит в расчетах к паразитным (разностным) эффектам, заметно
искажающим реальные процессы.
Различие между разностными и дифференциальными уравнениями уменьшается с
уменьшением шагов сетки лишь асимптотически при неограниченном увеличении
количества узлов сетки. Вместе с тем, вычислительный алгоритм должен быть
экономичным, поскольку газодинамические расчеты многовариантны. А это
условие накладывает ограничение на число узлов сетки. Таким образом, одно
из основных требований при построении разностных схем газовой динамики
заключается в получении правильного решения с минимальным искажением на
''грубых" сетках, содержащих относительно небольшое число узлов.
В астрофизических приложениях часто рассматривают модель сплошной среды,
лишенной вязкости. Хорошо известно, что в такой модели газодинамические
течения описываются разрывными функциями - это либо сильные разрывы
(ударные волны и контактные разрывы), либо слабые разрывы (волны сжатия и
разрежения). Для описания таких течений дифференциальные уравнения
неприменимы по той простой причине, что разрывные функции
недифференцируемы. В этом случае необходимо использовать интегральную
запись уравнений газодинамики. Интегральные уравнения газодинамики
представляют собой выражение общих законов сохранения: массы (или объема
в массовых лагранжевых координатах), импульса и энергии.
Однако разностная аппроксимация интегральных законов сохранения приводит
к неустойчивой разностной схеме при расчете ударных волн. Вместо ударной
волны получаются колебания большой амплитуды. Дефект расчета связан с
тем, что интегральных уравнений газодинамики недоста-
122
точно для получения однозначного решения. Эти уравнения необходимо
дополнить условием неубывания энтропии, которое исключает появление
неустойчивых разрывов.
Существуют два способа устойчивого расчета разрывных решений. Один из них
предполагает явное выделение всех разрывов и наложение запрета на решения
(типа ударных волн разрежения), для которых нарушен закон неубывания
энтропии. Этот способ реализован в методе характеристик (А.И. Жуков,
1960) - наиболее точном методе расчета газодинамических течений с
ударными волнами. Однако при наличии большого числа разрывов возникают
