Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(20.8)
2 Эх2
Здесь использовано разложение в ряд Тейлора
Э/ /??+, Э2к
(х, ) + ------------------- г
Эх 2 Эх2
/К + /7,+ |) = И*/) + Л,-+ 1 - (*/) +--------------------- - + 0(hf+
,)
Из (20.8) видно, что погрешность аппроксимации первой разностной
производной (20.3) составляет величину порядка шага разностной сетки в
первой степени. Говорят, что в этом случае разностный оператор
аппроксимирует дифференциальный с первым порядком аппроксимации.
Нетрудно видеть, что центральная разностная производная аппроксимирует
производную (20.2) со вторым порядком, т.е.
Э У
^(х,) = у о (х/) = О (/?2).
х Эх
Заметим, что правая односторонняя разностная производная (20.3) для узла
X/ является центральной разностной производной для полуцелого узла х 1 и,
следовательно, (20.3) аппроксимирует (20.2) в точке х | со
/ + - /Ч
2 2 вторым порядком аппроксимации.
Некоторые особенности разностной аппроксимации дифференциальных уравнений
мы продемонстрируем на примере простейшего уравнения теплопроводности
by Э2 у
------------------ =0. (20.9)
bt Эх2
Аппроксимируем это уравнение на равномерной разностной сетке в узле (х/,
tj+1) следующим образом:
или в безындексных обозначениях
Vt - Ухх =0. (20.10')
Набор узлов, использованных при аппроксимации, называется шаблоном (рис.
45, а). Погрешность аппроксимации уравнения (20.9) разностным (20.10)
составляет первый порядок по времени и второй по пространству - 0(т, h2).
Постановка дифференциальной задачи для уравнения (20.9) включает, помимо
самого уравнения, дополнительные условия - начальные и краевые. Характер
аппроксимации начальных и. граничных условий определяется конкретной
постановкой задачи. Разностные уравнения вместе с разностной
аппроксимацией начальных и граничных условий составляют разностную схему.
Это система алгебраических соотношений, соответствующих исходному
дифференциальному уравнению вместе с дополнительными условиями.
Уравнение (20.9) можно аппроксимировать с тем же порядком аппроксимации
на другом шаблоне (рис. 45, б) :
yi+1 - v! у*+ " _ 2vi+ 1 + vi+ l,
к' K У,+1 К' _ ./'Г1 =0, (20.11)
Т 7Р
или в безындексных обозначениях
У, - Ухх = 0. (20.11')
Разностные схемы, записанные по формулам (20.10) и (20.11), принципиально
отличаются друг от друга. В случае (20.10) значение искомой сеточной
функции yi*x (/ = 1,2, . . . , /V) на (у + D-м временном слое явно
выражается через сеточные функции предыдущего у-г о временнбго слоя.
Разностная схема, построенная по такому принципу, называется явной. В
случае (20.11) искомые сеточные функции нового временного слоя уже не
выражаются явным образом через сеточные функции предыдущего слоя, а
связаны между собой разностными уравнениями. Такая разностная схема
называется неявной. Решение соответствующей ей системы алгебраических
уравнений представляет самостоятельную проблему.
Введем в рассмотрение разностную схему, представляющую собой линейную
комбинацию явной и неявной схем:
у, ~[oyzx + (1 -а) ухх) =0. (20.12)
Такая схема записана на шеститочечном шаблоне (рис. 45, в). Для удобства
записи введем обозначение = ар + (1 - а)у, где 0 < а < Т - так называемый
весовой множитель. Тогда получаем
Уг
yLa) =0. (20.12')
Разностная схема (20.12) называется схемой с весами. В частном случае о =
0,5 она имеет порядок аппроксимации 0(т2,h2). В остальных случаях О (т,
h2).
3. Сходимость и устойчивость разностных схем. Для того, чтобы решение
разностной задачи аппроксимировало решение исходного дифференциального
уравнения, разностная схема должна удовлетворять некоторым требованиям.
Во-первых, она должна быть разрешимой, т.е. полученная система
алгебраических уравнений должна иметь решение.
120
(i-1J+1) (ij+1) (i-fJ+V
U+fJ+1)
O ...........- *----------- -о
o
¦o
o
-o
UJ) U+1J)
O о --О/
<U)
б)
Сi-1,j) (i,j) (i+f,:)
6)
Рис. 45. Типы шаблонов, используемых при решении уравнений газодинамики
методом конечных разностей.
Во-вторых, решение разностной задачи при уменьшении шагов сетки должно
приближаться (сходиться) к решению исходного дифференциального уравнения.
Условие сходимости определяется двумя другими - аппроксимацией и
устойчивостью.
Первое условие - аппроксимация - очевидно: разностная схема должна
приближать с какой-то точностью соответствующее дифференциальное
уравнение (аппроксимировать его). Второе (устойчивость) - связано с
особенностью вычислительного процесса в ЭВМ. Все вычисления в машине
проводятся с определенной погрешностью, связанной с существованием ошибок
округления, поэтому важно, чтобы эти вычислительные погрешности не
нарастали в процессе вычислений и не приводили к искажению результатов.
Ошибки округления можно рассматривать как малые возмущения входных данных
(начальных и граничных условий) , поэтому условие устойчивости можно
сформулировать как требование непрерывной зависимости решения задачи от
входных данных - при малом изменении входных данных мало должно
изменяться решение разностной задачи.
