Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
могут ли в действительности а, р, -у рассматриваться как незаписикйле
(ср. примечание 32). Это возражение касается только доказательства.
В'этом случае вместо уравнения (62) было бы получено следующее:
(1) Ва=-^ в т. д.,
вследствие чего и следующие расчеты Максвелла до формулы (77)
включительно не были бы правильными, если применять значение живой силы,
указанное в формуле (5) примечания 6, и вместе с Максвеллом считать ц
постоянной. Важность этбго .предмета заставляет нас обратиться еще к двум
примерам:"
Пример 1. В многочисленны* одинаковых вихрях с параллельными осями:,
имеющих форму прямых круговых цилиндров, пусть вращается жидкость с
постоянной угловой скоростью <о. Пусть длина осей вихрей будет х, радиус
их поперечного сечения а,- так что их скорость на периферии будет равна:
(2) а -та,
/Ч, пусть будет давление на оси вихря, р-давление на рассто-
pa>2r(r)
янии г от оси, тогда, как известно^р = ра+ - .
ПРИМЕЧАНИЯ 221-
Рассмотрим ту имеющую форму полого цилиндра часть' вихря, для. которой
величина г лежит между rj и г2. На его внутреннюю поверхность действует
давление
Bn>3 r f
Pi = Po + ^~2~ , а на его внешпюю поверхность
. ри>2^1 Pi- РоН 2-'
По-лное (не рассчитанное на едивицу площади) давление на основание или
опорную поверхность полого цилиндра есть:
га 2
Р =^ рЪкг dr=vp0(rl - rf)+--(г| - г|).
ri
Живая сила находящейся н полом цилиндре жидкости Г2
Е^= ^ -2ри>2 гг3 dr (г|-г*),
' г"
Пусть теперь х увеличивается на Ьх< Вследствие несжимаемости жидкости
8х 2Sa_ 26'j_ 2ог%
х а Г\ г2 '
откуда
Совершенная против давления работа равна:
ЗЦ^ = 7гг| рг br.2-r.rfp, brs +РЪх= (г| - /•*).
Уравнение ЪЕ + 5W = 0, следовательпо, дает:
Ъш foe
.(4) - .
о) X
Таким образом, угловая скорость вихря изменяется в точности
пропорционально длине оси вихря. Так как это действительно для любого
значения и г2, то из этого следует, что после деформации вихрь продолжает
вращаться как твердое тело
222
Л. БОЛЬЦМАН
с постоянной угловой скоростью, даже и в том случае, если он не обладает
никакой твердостью. Скорость на периферии а изменяется, однако, по
другому закову, чем угловая скорость ш, а именно, согласно уравнению (2)
она будет:
Ьа Вш 6а а о" ^ а Отсюда согласно уравнениям (3) и (4)
Ьа Ьс а 2х '
что согласуется с формулой (1) настоящего примечаиия и наг ходится в
противоречии с максвелловым уравнением (62). Жидкость между вихрями,
которая предполагается находящейся в покое, не содержит никакой живой
силы, но зато lie производит никакой работы, так как давление там повсюду
одинаково и объем постоянен. Таким образом, наличие этой жидкости викак
не влияет па баланс энергии.
Пример 2. Для того чтобы доказать, что и в том случае, когда существует
потенциал скоростей, действительно уравнение (1), приведенное в этом
примечании, а не максвеллов" уравнение (62), рассмотрим вихри, имеющие
форму прямых полых цилиндров. Их сечения дают круги - внутренний радиуса
Ь и внешний радиуса а. Пусть внутри вихрей и между ними жидкость
находится в покое. Жидкость должна так вращаться в вихрях, чтобы
существовал потенциал,скорости. Скорость на
расстоянии г от оси вихря будет тогда равна -. Давление
, рс2
в этом месте будет равпо р= рт- ^ , причем рт есть постоянная
интегрирования. Поэтому давление, рассчитанное на единицу поверхности,
для внутренней и внешней поверхностей оболочки будет:
рс2 рс2
Ръ=Рсо-2р и Ра = Роо-^2.
Полное давление на кольцеобразное основание или опорную поверхность (не
отнесенное к единице поверхности) равно: ь
Р=^ (poo-b2)/>oo~uPc4ny ¦
а
Живая сила вихря будет:
примечания 223.
Если х возрастает на Ьх, то опять-таки вследствие несжимаемости жидкости
как самого полого цилиндра, так и ввутри последнего соответствующие Ьх
приращения а и Ь будут:
аЬх ЬЬх
8о= --- , Б Ь=------- .
1х i 1х
Полная работа действующих на полый цилипдр сил давления есть:
оИ7 - 2кахр^а - 2кЬхрьЬЬ РЬх = -прс2Ьж1п .
Если 6с есть приращение с,,то Е увеличивается на ЬЕ = 2тад2хр %ка2ха
¦
Следовательно, опять 8а . Здесь также не может быть
1х
сомнения в том, что и после деформации движение жидкости снова имеет
потенциал скоростей.
Пусть д есть поперечное сечение находящейся между вихрями покоящейся
жидкости, соответствующей одному вихрю. В жидкости господствует давление
рс2 ра2
Л=Ао-й-* = Лх"-2~-
Полное поперечное сечение одного вихря вместе с относящейся к нему и
находящейся в покое жидкостью есть тса24 q. Полное давление на
находящийся внутри вихря круг площади кЬ2
будет кЬ2 (^Pa-j-' Давление ыа кольцеобразное сечение
вихря равно Р, а давлепие на площадь q будет q Отсюда среднее давление в
направлении оси вихря
ра2 тса2 , а па2 , " а
Р2 = Р~, ~~ ^-----------------------s~r~ Ра ~г = Pi-- Ра 'п X" ¦
00 2 ка2 + q Ь ка2 4- ? Ь
Следовательно,
hn2a2 а
Р=-,П~Г • гссг4-9 о
37. (Стр. 147.) Здесь Максвелл допускает, что три оси, вокруг которых
происходят три вращения а, р, -j и которые вначале были параллельны осям
координат, вращаются вместе с объемным элементом xyz. Следовательно,
