Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оси абсцисс. Следовательно, количествор ггромежуточиыхчастиц, проходящих
в единицу времени через поставленную нормально к направлению абсцисс
единицу площади, в среднем также равно р'и', и урав-йение (1.) дает нам
pV='?u р dS.
24. (Стр. 134.) Значения alt р,, относятся к первому вихрю, значения
а2, р2, Та -ко второму из рассматриваемых вихрей. Величина и в
разделяющей их поверхности dS будет, следовательно, также найдена, если в
ураввепви Максвелла (27) подставить:
P=Pii Р'=Р*; т'=тг;
m = ml = -m2; я=щ==-га2.
25. (Стр. 134.) Так как I dS = + dydz, причем положительный или
01рицательный знак ставится'в зависимости оттого, на какой стороне
ограничивающей поверхности находятся dS, на стороне ли, обращенной к
положительному наиравлепию оси абсцисс, или наоборот. В ^ lx dS, J lydS и
J- lz dS взаимно
214
Л. БОЛЬЦМАН
уничтожаются по два члена, которые относятся к dS одной части поверхности
и к dS соответствующей тем же у и г дру* гой части. Если обозначить
абсциссу первого d.S через х,, а абсциссу последнего dS через х2, то
тогда распространенный на замкпутую поверхность интеграл будет:
^ lx dS= ^ ^ (х} -х2) dy dz = ^ ^ ^ dx dy dz,
следовательно, интеграл равен объему, ограниченному замкнутой
поверхностью. Вместо максвеллова знака 2 здесь поставлен более для нас
привычиый знак J .
Интеграл, обозначенный Максвеллом через ^,-updS, который мы для краткости
назовем J it может быть найден и таким способом: его следует
распространить па все находящиеся ннутри. пространства V разделяющие
новерхности вихрей- Если мы снова устраним в выражении (31) все члены,
которые содержат координаты х, у, z без индексов, то /, может быть
ианисан Так:
d) /, = -у ]pds 1 ?*1*1+ ^"iVi+ Tzm'Zl~
d$ ей "I
-&я'Ъ-щ;л'у' J •
При этом х, у, 2-координаты центра какого-либо вихря:
I, т., п-направляющие косинусы нормалей, проведенных от какого-либо
элемента поверхности зтого вихря наружу. Суммирование распространяется на
все находящиеся в V вихри. Однако при интегрировании должны быть
исключены те элементы поверхности, которые не находятся внутри
црбстранства V,' а ограничивают это пространство. Аналогичный интеграл,
распространенный на все та^ио ограничивающие элементы поверхности,
назовем /2. Тогда получают сумму + /г, а интеграл (1) просто
распространяют на все элементы поверхностей Вйех вихрей. При
интегрировании по каждому отдельному вихрю можно поставить перед знаком
интеграла р и координаты х, у, z его центра, а также производные от р и -
у но
координатам. Тогда остаются только интегралы формы ^ Щ dS
и т. д., которые все исчезают. Отсюда, следовательно, \ У i +/а = 0. В
интеграле /2, который должен распространяться на все поверхностные
элементы пространства V, перед знаками интеграла могут быть также
поставлены р и производные от р и 7. Для х, у, z, однако, могут быть
взяты координаты
ПРИМЕЧАНИЯ
215
поверхностного элемента dS, расстояние которого от центра
соответствующего вихря, очевидно, мало по сравнепию с раз-
как это находит и Максвелл.
Быть может, еще желательпо краткое указание на ход решепия. Пусть в
специальном случае вихри имеют форму игральных костей с длиной сторон s,
ребра которых параллельны Осям координат. Они должны просто вращаться
вокруг осей, которые параллельны оси z. Скорость на периферии у должна
быть, функцией координат. Пусть V буд<?т игральной костью со стороной,
имеющей длину Ns, ребра которой параллельны ребрам малепьких кубиков.
Этот большой куб должен, несмотря па то, что N велико по сравнению с
единицей, все же быть столь малым, что f в пем очень мало изменяется. На
боковых поверхностях вихрей, которые перпендикулярны к оси у и ирилегают
к одной из сторон (а имеппо к сторопе, обращенной в сторону
отрицательного у), частицы вихря имеют скорость -у; прилегающих к другой
стороне-скорость Отсюда промежуточные частицы
имеют скорость и' = > которая является средним ариф-
метическим обеих скоростей в направлении х. Боковые поверхности всех
вихрей, перпендикулярных к оси у и находящихся внутри большого куба У,
образуют N - 1 квадратов с длиной стороны Ns, которые разрезают каждое
поперечное сучение, проведенпое через V вертикально к направлению
абсцисс, иа N-1 прямых, имеющих длину N <. Через каждую из этих прямых
выходят промежуточные частицы со скоростью и'. Следовательно, через
каждую нз Этих прямых в единицу времени выходят те промежуточные частицы,
которые находятся на поверхности, имеющей площадь u'Ns, и количество
которых равно рu'Ns. Если мы пренебрежем единицей по сравнению с N, то мы
можем сказать, что перпендикулярное по отно-шевию к направлению абсцисс
сечение куба V в целом содержит N таких прямых, так что, следонательно,
через него
мерами объема V, так что
тогда
как остальные поверхностные интегралы снова исчезают. Следовательно,
согласно (1)
216
Л. БОЛЬЦМАН
а через построенную на нем поверхность с площадью единица проходит
промежуточных частиц. Равным образом
находят, что через единицу площади перпендикулярного
