Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пт&а*р
200
Л. БОЛЬЦМАН
Если к тому же вихри расположены так, что точки пересечения их осей с
плоскостью q образуют вершины квадрата с длиной стороп, равпой 2а, то
можно это сечение д разложить на одни квадраты с длиной сторон 2а, каждый
из которых описан вокруг окружности, по которой сечение q пересекается
вихрем.
Такой квадрат представлял бы часть общего поперечного сечепия, которая п
средпем выпадает на одип вихрь; следовательно, мы имели бы = 4(22 и
отсюда согласно уравне-
нию (&)
V-=^< />1-л=-^Р"г = 0Д963рг;2.
Это было бы, однако, не наиболее плотным распределением вихрей. Наиболее
плотное расположение вихрей можно получить, если сечевио q разложить на
правильные шестиугольники, из которых каждый описан вокруг окружности, но
которой вихрь пересекает поперечное сечение д. Площадь каждого такого
шестиугольника представляла бы тогда ту часть общего поперечного сечепия,
которая выпадает на одип вихрь,
а следовательно, была бы равна . Так как сторона каж-
2а
дого из таких шестиугольников имела бы длину -- , то, сле-
V 3
довательпо, -^-=2У^За2, а отсюда
/>1-р2=8У!^2=0'2267рЛ
Это паибольшее значение, которое может иметь ,и, если жидкость однородна
и несжимаема и вихри вращаются с равномерной угловой скоростью в виде
прямолинейных круговых цилиндров. Величина, даваемая Максвеллом (см. его
уравнение [1а]):
Pi-/>2=0,25рю2,
соответствовала бы тому случаю, что между вихрями не находилось бы
никаких промежутков, заполненных невращаю-щейся жидкостью. Это
представление будет полезпо позднее при введепии движущихся между вихрями
промежуточных частиц. Одпако в этом случае вихри не могут иметь круговых
сечений. Частицы, находящиеся на их периферии, должны тогда описывать
многоугольные пути (например, правильные шестиугольники), а для таких
случаев интегрирование гидродинамических уравнений значительно более
сложно.
ПРИМЕЧАНИЯ
201
7. (Стр. 116.) Обозначения I, т, п, е^тествепно, сейчас имеют другое
значение, чем раньше. На стр. 128 буква I применяется в третьем значении,
а буква р опять имеет другое значение, которое па стр. 134 еще раз
изменяется. Так же часто меняет свое значение и буква р.
Упругие силы определяются так: через точку среды мы проводим три малых
плоских элемента поверхности площади ш, нормальных к трем л а яра "лимям
осей координат. Тогда частицы среды, прилегающие к одпой сторопе элемента
поверхности, например, нормального к оси абсцисс, действуют иа частицы,
прилегающие к другой стороне этой поверхности с некоторой силой *),
которая в направлении осей координат имеет составляющие шрхх, о>рху,
u>pxz. Эти составляющие действуют в положительных направлениях осей
координат, если рассматривать силу, как исходящую от частиц,
расположенных па сторопе элемента поверхности, обращенной к
положительному направлению осей координат, и которая действует на
частицы, расположенные на стороне, обращенной к отрицательному
направлению осей координат. Таким образом, если Рхх' Руу и Pzz
положительны, то они обозпачают силу Тяги-
S. (Стр. 116.) Выберем направление силовых линий в данном месте в
качестве направления оси абсцисс новой прямоугольной системы координат и
обозначим новые направления осей координат греческими буквами. Тогда
Сила упругости, действующая на единицу площади, перпендикулярную к старой
оси абсцисс, должна в новых координатах иметь составляющие S, Н, Z. Тогда
будем иметь согласно известным формулам для упругой силы, действующей иа
наклонную по отношению к осям координат (в данном случае по отношению к
новым осям координат) площадь:
2 = р,- cos (xi) + piTi cos (arrj) + pv> cos (0 =
/1 \
= ii-v1-pi j cos (xi).
H= jCOS (x5) ¦; COS (xrj -J p^ COS (xC) - -pi COS (щ),
Z = P?(. COS (ж?) I- pr? COS (xrj) + p,^ cos (xt)= -Pi cos (x').
Так как, с другой стороны, рхх, рХу и являются сомавляю-
*) Эта сила, будучи разделена ла "->, должна называться упругой силой на
единицу площади, действующей па поверхность. нормальную к оси абсцисс.
(1)
/
202 Л. БОЛЬЦМАН
щими той же самой силы в направлениях старых осей коор* диват, то мы
имеем:
1
рхх - 3 cos (же) + U cos (xri) + Z cos (ж?) = у- ij.c2 cos2 (xt) - рг,
4tc
1
Pxy = s cos (;y?) + H cos (щ) + Z cos ("Я cos (a?) cos (yi),
1
Pxz = S cos (z?) + H cos (zt]) + Z cos (z?)=: - [j."2 cos ((r)5) cos (zS),
что сейчас же дает уравнения Максвелла, так как вовая ось абсцисс имеет
направление силовых линий, а следовательно,
cos (ж?) = <*, cos(,y?) = 7", cos(z?) = ra.
Если лнутри ваполнепвой вихрями среды построить элемент поверхности,
наклоненной по отношению к осям вихрей,-то в атом случае нельзя, как это
делают для упругого тела, устранить частицы, прилегающие к одной стороне
поверхности и заменить их действие па частицы, прилегающие к другой
стороне, действием внешних упругих сил. Этим было бы нарушено движение в
непосредственной близости элемента поверхности, так как частицы
непрерывно перемещаются в ре-вультате вращения с одной стороны
