Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клерк Дж. -> "Избранные сочинения по теории электромагнитного поля" -> 61

Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.

Клерк Дж. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля — Технико- теоретическая , 1952. — 687 c.
Скачать (прямая ссылка): izbranniesocheneneniyapoteorielektropolya1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 213 >> Следующая

7 1
на I, все времена - rm - , все нлотности - па п и все действующие на
единицу площади давления-на т2п. Внетпие силы, действующие на впутреннис
части жидкости, при этом во внимание не принимаются. Если таковые
учитывать, то действующая на единицу жидкой массы внешпяя сила должна
была бы быть помно-то2
жена на .
6. (Стр. 115.) Пусть дапа какая-либо жидкость, в которой около
параллельных осой вращаются расположенные рядом друг с другом вихри.
Средняя плотпость и скорость на окружности каждого вихря пусть равны
единице. Давление на периферии вихря раино Pi, среднее давление в
направлении осей вихрей р2=р[ 4- С. Пусть теперь все линейные размеры
увеличены в отношении { : I. Плотности в соответствующих точках будем
считать увеличенными в р раз, а последовательность состояний во времени
так измепенной, что скорости при сохранении их направлений будут
увеличены в V раз; I, р и v-произвольные величины, но каждая из них, само
собой разумеется, во всей системе имеет одинаковое значение. В новой
системе, следовательно, р есть средняя плотность, а и-скорость на
окружности вихря. Если тогда в новой системе рх есть давление на
периферии вихря, р2-среднее давление на оси, то согласно доказанному в
предложении I pi - Рг + С'ри2, причем Максвелл вместо С пишет .
Приведем для лучшего усвоения сказанного некоторые примеры. Для простоты
будем считать сечение вихрей круговым, жидкость несжимаемой и во всей
своей массе имеющей одинаковую плотность. Вообразим себе, прежде всего,
вихрь какой-нибудь длины, сечение которого является кругом радиуса а и
ось которого перпендикулярна к сечению.
198 л. БОЛЬЦМАН
Каждая частица жидкости пусть описывает с постоянной скоростью
окружпость, плоскость которой перпендикулярна к оси и пентр которой лежит
па оси. Скорость на периферии вихря пусть будет Ь; выутри же вихря пусть
она будет для всех точек, которые находятся на равном расстояпии г от
оси,
одной и той же, равной vf ^ , причем / может быть любой
функцией, которая исчезает при г=О, а для значения г=а имеет величину,
равпую единице. Можпо ввести систему неподвижных координат, ось z которой
является осью впхря, я рассчитывать составляющие скорости каждой частицы
жидкости в направлениях ж и у. Тогда нетрудно убедиться, что
гидродинамические уравнения Эйлера для не имеющей трения несжимаемой
жидкости для каждой такой функции / выполняются и что давление на
расстоянии г от оси равно:
(1) + [/(т)]*Т*
о
причем р0 есть давление на оси, р - плотность жидкости.
Давление на периферии вихря будет:
(2) Pi = Pa+ pv* ^ [/(ж)]2 + PV2 ^ у-
о о
Представим себе теперь цилиндрический объем жидкости V, имеющий сечение
д, в котором рядом друг с другом находятся п вихрей, обладающих только
что описанпыми свойствами, оси которых параллельны оси цилиндра V ¦
Жидкость, находящаяся между вихрями, должпа паходиться в покое, а
следовательно, в ней будет господствовать то же самое давление рх, как и
на периферии вихрей. Среднее осевое давление мы находим следующим путем.
Не пересекаемая вихрями часть сечения q имеет площадь q-ппа2 и в ней
господствует давлевие р,. Каждый вихрь пересекает сечение q по кругу
радиуса а, на площади которого давление переменно. Если из каждого такого
круга вырезать концентрическое круговое кольцо, которое ограничено
окружностями с радиусами г и r + dr, то в каждом таком круговом кольце
господствует давление р, данное формулой (1), и совокупная площадь всех
таких лежащих в сечении q круговых колец есть 2тmr dr. Если мы теперь
каждый элемент поверхности сечения q помножим на господствующее там
давление и все таким образом полученные произведения сложим, то из этого
будет следовать:
(д -юта2) рл + 2тш ^ prdr = qp1 - 2nnpv2 ^ г dr ^
2 dr
ПРИМЕЧАНИЯ 199
Интегрируя по частям (между нулем и а) последний член получим:
о 1
qpi - nnpv2 ^ г dr [У ^1Р\ - И7"г2ро2 ^ [/ (a:)J2a: с?ж;
О О
разделив на д, найдем для среднего осевого давления величину
1
(3) Pi - Pi-• -- pv2 ^ [/ (*)]2х dx.
о
Если, следовательно, каждый такой вырезанный из максвел-ловой среды
маленький цилиндр, имеющий ось, параллельную силовым линиям,
приблизительно имел бы свойство только что рассмотренного цилиндра, то
тогда максвеллова величина была бы равна:
1
Мпгд2 (*
[а = 4п----р \ [f (х)]гх dx.
О
а
Здесь па2 есть сечение вихря, в некотором смысле представляет часть
поперечного сечения цилиндра, на которую в среднем приходится один вихрь.
Полная живая сила содержащейся в цилиндре объема V части одного вихря
есть:
a i
(4) itfyc8 SKv)]' г dr - паЧрч? ^ [/ (а?)]2ж dx,
О О
если I - длина цилиндра, и поэтому V-ql. Вся содержащаяся в цилиндре
живая сила вихрей есть, следовательно:
(5) V ре2 If (х))*х dx='~ V.
о
*
Если, как выражается Максвелл, каждый вихрь вращается с равномерной
угловой скоростью, т. е. без относительных смещений своих частиц
так, как если бы вращающаяся масса
жидкости была бы твердым телом, тогда скорость пропорцио-
нальна г, а следовательно, f(x) = x, а отсюда согласно уравнению (4)
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 213 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed