Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клерк Дж. -> "Избранные сочинения по теории электромагнитного поля" -> 58

Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.

Клерк Дж. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля — Технико- теоретическая , 1952. — 687 c.
Скачать (прямая ссылка): izbranniesocheneneniyapoteorielektropolya1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 213 >> Следующая

есть сумма произведений массы dm каждой частицы, помноженной на
удвоенную, площадь, которую она описывает вокруг этой оси и единицу
времени [65], или если А есть вращательный момепт относительно оси х, то
А=ЪЛт{уъ-яж)-
Так как мы не знаем распределения плотности в вихре, мы можем определить
лишь отношение между вращательным моментом и энергией вихря, выражение
для которой мы вывели в предложении VI.
Так как время обращения то же самое по всему вихрю, средняя угловая
скорость а> будет повсюду
одной и той же, равной у, где а есть скорость по
окружности и г- радиус. Тогда
А = 2 dmr2u>
и энергия
Е --j- ^ dmr'w2 ^ ~ Аи>,
Е - p.a2F согласно предложепшо VI, откуда
A^^raV (144)
для оси х с аналогичными выражениями для других осей, причем V - объем, а
г - радиус вихря.
Предложение XIX. Найти уравнения волнового движения в среде, содержащей
вихри, предполагая, что колебания перпендикулярны к направлению
распространения.
Будем рассматривать плоские волпы, распространяющиеся в направлении z;
оси ж и у выберем в направлениях наибольшей и наименьшей упругости
188
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
в плоскости ху. Пусть ж и у представляют смещения [частицы среды],
параллельные этим осям. Эти смещения будут теми же самыми по всей
[плоской] поверхности волны, я поэтому х и у будут * функциями только
Z и t.
*____ Пусть X будет я-компонента
-X упругой силы, действующей на
сдиничпую площадку, параллель-f х ную плоскости ху, У -соответ-
ствующая ей тангенциальная'упру -V гая сила, действующая в
направ-
Рис. 12 пении У'
Пусть и fc2 будут коэффициенты упругости по отношению к этим двум родам
упругой силы. Тогда, если среда находится в покое*), имеем [66]:
у___ъ dx у_______т dy
Д. -- Л\ ,- " 1 - iCft.-г" •
dz ' dz
Предположим теперь, что в среде находятся вихри, скорости которых, как
обычно, изображаются символами а, р, f. Пусть ~ представляет производную
по
времени, которая зависит от одного только действия тангенциальных
напряжений, поскольку в поле нет электродвижущих сил. Изменение
вращательного момента в слое, площадь которого равна единипе и толщина dz
характеризуется, следовательно, величиной
J rffl J V"
~dt 9 и если часть силы Y, которая производит
этот эффект, есть У, тогда момент Y' равен - Y'dz, та ic что
у/ 1 da
7 =-4¦
*) To-есть в среде отсутствуют вихри. (Ред.)
О ФИЗИЧЕСКИХ СИЛОВЫХ ЛИНИЯХ 189
Полное значение Y, когда вихри принимают участие в волновом движении
?67]:
1
Аналогично i- (145)
Y = dy dz 1 4n pr da dt
Х = h dx dz +i d$ dt
Полная сила, действующая на слой, толщина которого равна dz, а площадь
единице, есть ^ dz в направлении х и Щ-dz в направлении у. Масса слоя
есть
CLZ
pdz, так что мы имеем в качестве уравнений дви'Йда-ния:
а*т _ dx ь d?x d f \ d$ Л 1
Р dt2 dz 1 dz2 dz \_4it dt ) ' |
- - JPJL - JLi'I. da Л [
P <Й2 dz 2 dz2 dz \4тс^Г dt ) * j
(146)
" da d$
Теперь выражаемые производпыми и - изменения
скорости вихрей вызываются деформацией и скручиванием каждого элемента
содержащей вихри среды. , Чтобы выразить эти величины через параметры
движения среды, мы должны обратиться к предло-?кению X. Обозначенное там
через (68) уравнение есть [68]:
8a = a^8z + p-As* + T^U*. (68)
Так как и Ьу являются функциями только z и t, мы можем написать это
уравнение в форме
da d-x
dt f dz dt
и подобным же образом
dp <Ру
(147)
190
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
Если мы теперь положим: к1 = а?р; к2 - Ъ2р и ~( = с2, мы можем написать
уравнения движения (146) в форме
dtх _ 2 d2x 2 d3y 1
dt2 dz2 dz2dt ' |
rf2V to 2 d3" [ (1/l8^
dt- dz* ° dz2dt ' j
Этим уравнениям удовлетворяют значения:
A cos {nt - mz + a), |
> (149)
"). J
при условии
у = В sin (nt - mz -(- < (и2 - т2а2) А = т2пс2В
(150)
(ге2 - т2Ь2) В = т2псгА.
Перемножая оба последних уравнепия, мы наводим:
(п2 - т2а2) (и2 - т262) -¦ т*п2с* (151)
- уравнение, квадратное относительно т~; корни его будут:
т2~-----------. (152)
а2 + Ь2 Т К ("2-^)2 + 4ге2с*
Эти значения т2, будучи подставлены в какое-нибудь из уравнений (150),
дают отношения А к В:
А __ аг~Ьг Т Т/(о2-Ь*)* + 4л*с4
2? 2пс2
[152а]
Если подставить одно из значений т в уравнения (149) и взять из уравнения
[152а] соответствую-А
щую величину , то мы получим для х и у зпаче-
ния, удовлетворяющие уравнениям (148) при любых значениях А, п и а.
Наиболее общее волновое движение такой среды составлено, следовательно,
из двух эллиптических волновых движений с различными
О ФИЗИЧЕСКИХ СИЛОВЫХ линиях
491
эксцентриситетами, распространяющихся с различными скоростями, при
которых частицы вращаются в противоположных направлениях. Результаты
наиболее наглядны в случае, когда а-Ь. Тогда
тл -
и А = + В.
(153)
т- cos / nt
У а 2 - псг /
nz \ I • ! *
-' -j- sm I nt
|/"а2 4- псг J nz
V а2 + '
(154)
Предположим, что А-Л для обоих колебаний, тогда мы будем иметь:
( nz \
X = cos ^ nt------------
у - - sm nt _______________ , ___ .
'у \f а2- пс2 J \
Первые члены в этих выражениях для х и у представляют круговые колебания
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 213 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed