Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
было всюду конечно и р
= _ с гf+f-dpjdxdyd^
J J J \dx dx ' dy dy dz dz J u
72
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
бесконечности обращалось в нуль.. Доказательство этой теоремы было дано
профессором В. Томсоном*).
Если а, 7 - электродвижущие силы, р - электрическое напряжение
[потенциал] и к - коэффициент сопротивления, то предыдущее уравнение
тождественно с уравнением непрерывности
^а2 ¦ dc% , , "
+ р °' и теорема показывает, что если даны электродвижущие силы и
количество электричества, порождаемое в каждой точке пространства, то
этим ^определяется и электрическое напряжение [потенциал] в каждой точке.
Так как математические законы магнетизма, насколько мы их здесь
рассматриваем,, тождественны с законами электричества, то мы можем
рассматривать величины а, |3, f как составляющие магнитной силы, р - как
магнитное напряжение [потенциал] и р- как реальную магнитную плотность,
причем к будет тогда коэффициентом сопротивления против магнитной
индукции.
Доказательство этой теоремы основывается на определении минимального
значения величины:
+ (тdxdydz, где V представляет собой решение уравнения
: dx2 ^ dy2 + dz2 h Р ~ U'
а р требуется определить [по отношению к этому доказательству могут быть
выставлены те же возраже-
*) Cambr. and Dubl. Math. Journ., т. Ill, стр. 84, февраль 1848 г., Pap.
on Electric, and Magn., XIII, 206, стр. 139: Math'-{|. Phys. Pap., стр.
93, § XXXyj. ' ' ~ ' r • '
О ФАГАДЕЕВЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЯХ
73
пия, как и против аналогичного доказательства принципа Дирихле].
Смысл этого иптеграла в учепии об электричестве может быть обнаружен
следующим образом. Если бы присутствие сред, в которых к имеет различные
значения, не влияло па распределейие сил, то "величина"
в направлении оси абсцисс была бы просто ^, а на-
7 dy г,
пряженность к - . В действительности же эти две величины-, имеют значение
Qi- и а -Поэтому те части обеих величин, которые обусловливаются только
различием срод, суть:
Произведение этих двух величин представляет работу, которую нужно
совершить при данпом распределении источников и обусловленную наличием
данного распределения' сред в пространстве. Если мы прибавим сюда еще
члены, относящиеся к осям у и z, то получим величину Q, дающую выражение
полндй работы, которая совершается благодаря пе только самому присутствию
источников, но также и распределению проводящих сред [33].
Это выражение имеет минимум при одном и только одном значении р, а именно
при том, которое является решением наших начальных уравнений.
Теорема V. Если а, Ь, с суть три данные функции х, у, z, удовлетворяющие
уравнению
то всегда можно найти три функции а, 8, f переменных х, у, z,
удовлетворяющие уравнениям (21);
dx ' dy dz
74
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЁЛЛ
Пусть А - ^ с dy, где величину с интегрируем по у,
причем жиг рассматриваются как постоянные. Далее, пусть
Все эти интеграции нужно понимать в указанном смысле. Тогда три величины:
будут удовлетворять данным уравнениям, так как
Таким же точно образом можно показать, что эти значения а, |3, f
удовлетворяют и остальным уравнениям. Функция ф в рассматриваемом случае
остается совершенно неопределенной. Этот метод заимствован из трактата
профессора В. Томсона по магнетизму*).
Так как требуемые интеграции невозможно выполнить, если а, Ь и с суть
прерывные функции от х, у, z, то следующий вполне общий, но, без
сомнения, несколько более сложный метод еще яснее обнаружит
справедливость рассматриваемой теоремы.
*) Phil. Trans., стр. 283 (1851). Pap. on Electric, and Magn., V, стр.
402.
и поэтому
О ФАР АДЕЕВЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЯХ
75
Пусть А, В, С суть величины, определяемые метог дами 1 и II теорем из
уравнений:
вУА , сРА , сРА . л -w+W+!i? + a-=0' d*B , <РВ d*B , п da2 ^ dy2 + ¦
0 -
dx2 + rit/2 + ckE +c-U'
так что ii, В, С никогда не обращаются в бесконечность и при х, у ' или z
бесконечных обращаются в нуль. Далее, пусть
= dB_dC . # a dz dy dx'
q___dC dA , dty
^ dx dz dy '
dA dB '"ft!,
1 dy dx~ dz'
Тогда
dC\ (лы * d*A d*A'\ =
dz dy dx \dx dy ' dz ) \dx2 1 dy2 dz2 )
= ±(dA + ^ . ^+a.
dx\dx'dy'dz J
Если мы продифференцируем это' уравнение по х, а другие два аналогичные,
относящиеся к координатам у и z, продифференцируем соответственно по у и
по z, затем сложим три полученных выражения, то, принимая во внимание
уравнение
da .db , dc_____ ~
dx dy'' dz '
найдем:
(йАл-~ 4 -\ -П V^d*2dy2 dz2) \dx dy dz )
Так как А, В, С повсюду конечны и в бесконечности обращаются в нуль, то
единственное возможное
76
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
решение этого уравнения есть:
dA , dB <*С_л ,dx dy dz '
и мы получаем, наконец,
d'j _ dz dy а
и два аналогичных уравнения; эти три уравнения доказывают, что а, |3, f
определены правильно.
Функпия ф должна быть определена из условия
если левая часть уравнения всегда равпа нулю, то <]> также равно нулю.
Теорема VI. Пусть а, Ь, с-какие-нибудь данные функции от х, у, z. Всегда
можно образовать такие три функции a, j3, f и четвертую V от этих
величин, чтобы
