Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функция от s, так что различные части цепи движутся независимо одна от
другой, чв то время как цепь остается непрерывной и замкнутой.
Кроме того, пусть X будет полной силой в направлении х, действующей на
часть цепи от s = 0 до s=s;
dX
тогда часть, соответствующая элементу ds, будет ds.
Мы тогда получим следующее выражение для работы, совершенной силой в
течение смещения:
5 ?"** = 4 ж,(рв+сш + а§>*¦ <4>
где интегрирование должно быть распространено по замкнутой кривой, имея
при этом в циду, что. Ьх есть произвольная функция от s. Мы можем,
следовательно, произвести дифференцировапие по Ьх аналогично диф-
ИЗ "ТРАКТАТА ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ И МАГИЕТИЗМЕ" 471
ференцированию по t в параграфе 598, помня, что
ж-1' S--0 " ж-0-
Мы, таким образом, находим:
$ §8* * - Ке ? - 4081 *+*•. 5 s <№> *. <в)
Последний член исчезает, когда интегрирование производится вдоль
замкнутой кривой, а поскольку уравнепие должно быть действительным для
всех форм функций 8а:, мы должны иметь:
dX - / dy *dz\ (н\
- уравнение, которое дает составляющую, параллельную оси х, силы,
действующей в элементе ds на единицу длины цепи. Составляющие,
параллельные осям у и z, будут:
m
<9>
Результирующая сила на элемент выражена по направлению и величине в
кватернионном обозначении через i.2V. dpSd, где ц есть числовая мера
тока, a dp и 58- векторы, представляющие элемент цепи и магнитную
индукцию; умножение должно быть понято в смысле, указанном Гамильтоном.
603.] Если проводник рассматривается не как линия, но как тело, следует
выразить силу на элемент длины и ток через полное сочение, через силу на
единицу объема и ток на единицу площади.
Пусть X, Y, Z представляют составляющие силы, относящиеся к единице
объема, и, v, w - составляющие тока, отнесенные к единице площади, тогда,
если S есть сечение проводника, которое мы будем предполагать малым,
объем элемента ds будет S ds и и = ^ ^ .
472
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
Поэтому уравнение (7) будет:
z*? = S{*c-wb),
(10)
или
и
аналогично:
X = t>c - wb, j
| Уравнения
Y =wa - uc электромагнит- (G) I ной силы.
Z - ub-va. J
Здесь X, Y, Z являются составляющими электромагнитной силы, действующей
на элемент проводника, деленными на объем этого элемента; и, о, w
являются составляющими электрического тока через элемент, отнесенные к
единице площади, и а, Ъ, с - составляющие магнитной индукции в элементе,
которые также отнесены к единице площади.
Если вектор ^ представляет по величине и направлению силу, действующую на
единицу объема проводника, и если (? представляет электрический ток,
текущий через него, то (12)
[Уравнения (В) параграфа 598 могут быть доказаны следующим методом,
изложенным в мемуаре профессора Максвелла: "Динамическая теория
электромагнитного поля", Phil. Trans., .1865*).
Производная по времени от - р может быть разделена на две части, одна из
которых зависит, а другая не зависит от движения цепи. Последпяя часть,
очевидно, будет:
Для того чтобы найти первую часть, рассмотрим дугу ds, образующую часть
цени, и вообразим, что эта дуга движется вдоль рельсов, которые будем
считать параллельными; составляющие'скорости этого движения v пусть
будут: х, у, z; остальную часть цепи, кроме дуги Ss, будем предполагать
неподвижной. Тогда мы можем считать, что движущаяся дуга
(11)
*) См. стр. 251 настоящего издания.
ИЗ "ТРАКТАТА ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ И МАГНЕТИЗМЕ" 473
описывает маленький параллелограмм, направляющие косинусы нормали к
которому будут:
где I, т., п являются направляющими косинусами для bs, а 0 есть угол
между v и bs.
Для того чтобы проверить знаки \, ц, v, мы можем положить т= - 1, ж = и,
тогда X, p., v становятся равными соответственно 0, 0, -1, каковыми они и
должны были быть при правосторонней системе осей.
Пусть теперь а, Ь, с будут составляющие магнитной индукции, обусловленной
движением bs в течение времени St:
Если мы предположим, что каждая часть цепи движется подобным же образом,
то результирующим эффектом будет движение всей цепи как целого и токи в
рельсах будут всякий раз компенсироваться в случае двух прилегающих дуг.
Производная по времени от - р, обусловленная движением цепи,
следовательно, будет:
Результаты параграфа 602 для составляющих электромагнитной силы могут
быть выведены из вышеуказанного выражения для Ьр. Действительно, пусть
дуга bs смещается на расстояние Bs' в направлении Г, то', п', тогда
bp={l'(cm - bn) + два аналогичных члена} 6s bs'.
Теперь пусть X будет составляющей по оси х силы, действующей на дугу s.
Тогда для единицы тока мы согласно параграфу 596 найдем:
{Если предположить, что электрические токи всегда текут вдоль замкнутых
цепей, мы без введения векторного потенциала можем вынести уравнения,
которые будут определять состояние электромагнитного доля.
пу - mzr lz-пх тх - 1у
usinQ ' v sin 0 ' v sin ft '
5/> = (aX. + &[i+cv) v bt bs sin 0.
аналогичных члена) ds, где интеграл берется вдоль всей цепи, или
^ (су-bz) dx + два аналогичных интеграла.
