Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
p^^Jds, (2)
в котором интегрирование выполнено однократно вдоль всего контура.
587.] Теперь нам надо определить выражение величины J. Прежде всего, если
направление ds изменяется на обратное, то J меняет знак. Отсюда, если два
контура АВСЕ и AECD имеют общий отрезок АЕС, считаемый в обоих контурах в
обратных направлениях, сумма значений р для двух контуров АВСЕ и AECD
будет равна значению р для контура ABCD, составленного из двух контуров.
ИЗ "ТРАКТАТА ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ И МАГНЕТИЗМЕ" 453
Действительно, части линейного интеграла, зависящие от отрезка АЕС,
равны, но противоположны по знаку в обеих цепях, так что опи взаимно
уничтожаются при суммировании, а остаются только те части линейного
интеграла, которые зависят от внешней границы ABCD.
Таким же путем мы можем показать, что если поверхность, ограниченная
замкнутой кривой, разделяется на любое количество частей и если периметр
каждой из этих частой рассматривается в качестве Е<онтура, положительное
направление которого то же, что и вдоль внешней замыкающей кривой, то
значепио р для замкпутой кривой равно сумме значений р для '
всех частичных контуров (см. на- Рис- 13. раграф 483).
588.] Рассмотрим теперь часть поверхности, размеры которой так малы по
отношению к главным радиусам кривизны поверхности, что изменение
направления нормали в пределах этой части может не приниматься во
внимание. Мы также предположим, что если некоторый очепь маленький контур
перемещается параллельно самому себе от одного участка поверхности к
другому, то значение р для малого контура не меняется заметным образом.
Это, очевидно, будет иметь место, если размеры участка поверхности
достаточно малы по сравнению с ее расстоянием от первичной цепи.
Если на этом участке поверхности будет начерчена некоторая замкнутая
кривая, то величина р для этой кривой будет пропорциональна площади,
заключенной внутри кривой.
ДейЬтвительно, площади некоторых двух контуров, могут быть разделены на
малые элементы одинаковых размеров и имеющих одну и ту же величину р.
Площади обоих контуров относятся как числа элементов, которые они
содержат, а значения р для этих контуров находятся в том же отношении.
454
ДЖЕМС КЛЕЕК МАКСВЕЛЛ
Отсюда значение р для контура, который ограничивает некоторый элемент
поверхности dS, имеет вид
IdS,
где I есть величина, зависящая от положения dS и от направления его
нормали. Поэтому мы имеем новое выражение для р:
(3)
где двойной интеграл распространен на некоторую поверхность,
ограничиваемую контуром.
589.] Пусть ABCD будет контур, в котором АС есть элемент настолько малый,
что его можно считать прямолинейным. Пусть АРВ и CQB будут малые равные
площади в той же самой плоскости. Тогда значение р будет одним и тем же
для малых контуров АРВ и CQB, или
p(APB) = p{CQB).
D Отсюда
р (APBQCD) = р (ABQCD) + р (АРВ) = = р (ABQCD) + р (CQB) = р (.ABCD),
т. е. значение р не меняется вследствие замены ломаной линией APQC прямой
линии АС при условии, что площадь контура заметным образом не меняется.
Действительно, это есть принцип, установленный вторым опытом Ампера
(параграф 506), в котором показывается, что ломаный участок цепи
эквивалентен прямолинейному при условии, что ни в одном месте ломаный
участок цепи не находится на заметном расстоянии от прямолинейного
участка.
Если, следовательно, мы вместо элемента ds представим три малых элемента
dx, dy и dz, начерченных последовательно один за другим так, что они
образуют непрерывный путь от начала до конца элемента ds, и если F dx,
Gdy и Н dz обозначают элементы линей-
Рис. 14.
ИЗ "ТРАКТАТА ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ И МАГНЕТИЗМЕ" 455
ного интеграла, соответственно вдоль dx, dy и dz, то / ds = F dx-\-Gdy +
H dz. (4)
590.] Мы теперь имеем возможность определить, каким образом величина J
зависит от направления элемента ds. Согласно (4)
•'-*!+ся+яг- <5>
Это есть выражение для составляющей в направлении ds вектора, компоненты
которого в направлениях осей х, у и z соответственно равны F, G и Я.
Если этот вектор мы обозначим через Ш и вектор от начала до некоторой
точки контура через р, элемент длины будет dp и / ds в кватернионном
выражении будет:
-SMdp(").
Мы теперь можем написать уравнение (2) в форме
H(FS+Gs+ffS>' <6>
ИЛИ
dp. (7)
Вектор 31 и его составляющие F, G, Н зависят от положения в поле, а не от
направления, которое имеет ds. Следовательно, они являются функциями
координат х, у, z элемента ds, а не направляющих косинусов I, т, п этого
элемента.
Вектор ЭД по направлению и величине представляет интеграл по времени от
силы, действие которой испытывала бы частица, помещенная в точке (х, у,
z), если бы первичный ток был внезапно прерван. Мы поэтому будем называть
его элект.рокинетическим количеством движения в точке (х, у, z). Он
идентичен с величиной, которую мы исследовали в параграфе 405*) под
названием векторного потенциала магнитной индукции^
*) Этот параграф р настоящее издание не вошел* (Ред.)
456
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
