Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
скорости в данный момент
времени и пусть р1( р2 и т._д., q1( qa и т. д. будет другая система
количеств движения и скоростей, так что
Pi -- Tipi, q^nqx и т. д. (10)
Очевидно, что системы р, q будут совместны со связями, если системы р, q
совместны.
Пусть теперь п изменяется на 8га. Работа, совершенная силой Flt будет:
Р i§4i = qi§Pi - qiPin (11)
Пусть n увеличивается от нуля до единицы, тогда система переводится из
состояния покоя в состояние
движения (q, р), и вся работа, затраченная на производство этого
движения, будет:
1
(9ijP + №+ • ••) ^ ndn, (12)
о
по
1
^ ndn -Y'
о
а работа, затраченная на производство движения, эквивалентна кинетической
энергии. Отсюда
Т . =-^ (Piqi~\~ P2q%-{- • • •), (13)
pq Z
где T . обозначает кинетическую энергию, выражен-
PQ
ную в значениях количеств движения и скоростей.
Переменные q1; qz и т. д. не входят в это выражение.
422
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
Поэтому кинетическая энергия равна половине суммы произведений количеств
движения на соответствующие спорости.
Когда кинетическая энергия выражается таким путем, мы будем обозначать ее
символом Т .. Она
является функцией только количеств двшкония и скоростей и но заключает
самих переменных.
563.] Имеется третий метод для выражения кинетической энергии, который
обычно считается основным. Путем решения уравнений (3) мы можем выразить
количества движения как функции скоростей и затем, вводя эти значения в
формулу (13), будем иметь выражение для Т, включающее только скорости и
переменные; Т, выраженное в такой форме, мы будем обозначать символом Т.
. В этой форме кинетическая
энергия фигурирует в уравнениях Лагранжа.
564.1 Очевидно, что поскольку Tv, Т. и Т . явля-
9 РЯ
ются тремя различными выражениями одной и той же величины, то
Отсюда, если мы будем варьировать величины р, q и q1, то получим:
pq
ТР + Т.-2Т . =0,
q pg
ИЛИ
Tp + T.-Piqi-P2q2- • •• =0.
(14)
Вариации Ьр независимы от вариаций bq и bq, так что мы по можем сразу же
утверждать, что коэффи-
ИЗ "ТРАКТАТА ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ И МАГНЕТИЗМЕ" 423
циент при каждой из этих вариаций в этом уравнении равен нулю.
Но из уравнений (3) мы знаем, что
-^--дх=-0 и т. д., (16)
так что члены, содержащие вариации 8/?, сами тождественно равны нулю.
Остальные вариации bq и Ьд теперь все независимы друг от друга, так что
мы находим, приравнивая
к нулю коэффициент при Ьдг и т. д.,
dT-' dT-
Pi =-A, и т. д. (17)
a?, dg2
To-есть составляющие количества движения равны производным от Тш по
соответствующим скоростям.
Далее, приравнивая пулю коэффициенты при 8дх и т. д., получаем:
dT-
= 0, (18)
dqx ' dqx
т. e. производная кинетической энергии, выраженной как функция скорости
по какой-либо переменной qlt равна по величине и обратна по знаку
производной энергии Т, выраженной как функция количеств движения.
В силу уравнения (18) мы можем написать уравнение движения (9):
dT•
dpi
Г J=r
ИЛИ
dT• dT.
(20)
d ________g_____________<г_ .
dt ,• dqx '
dqj
в этой форме уравнения движения были даны Лагранжом.
565.] В предыдущем исследовании мы избегали рассмотрения вида функции
скоростей или количеств
424 ДЖВМ6 КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
движения, выражающей кинетическую энергию. Единственная форма, которую мы
приняли для нее, есть
• • •)" (21)
в которой кинетическая энергия выражена как половина суммы произведений
количеств движения на соответствующие скорости.
Мы можем выразить скорости в виде производных от 2' по количествам
движения как в уравнении (3):
(22)
Это выражение показывает, что Тр является однородной функцией второй
степени от количеств движения р17 р2 и т. д.
Мы можем также выразить количества движения как функцию от 7V Тогда
dT• . dT.
dqx dq2
что показывает, что T' является однородной функцией
второй степени от скоростей qlt q% й т. д.
Если мы напишем;
d?T- d*T.
Рц-^-r1-, Рц = -г 1- И Т. д. dq\ dqj dq2
ИЛИ
тогда, поскольку T-q и Tv являются функциями второй
степени соответственно от q и р, то Р и Q будут функциями только
переменных q и будут независимы от скоростей и количеств движения.
ИЗ "ТРАКТАТА ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ И МАГНЕТИЗМЕ* 425
Мы, таким образом, получаем выражения для Т: 27'* - Pixq\ + 2/)i2<7i<72 +
• • • (24)
Zip - QuPi + ZQ12P1P2 + • • • (25)
Количества движения выражаются как функции скоростей линейными
уравнениями
Pi--=Pn4i + Pu4x+ ¦ ¦ •> (26)
а скорости выражаются как функции от количеств движения линейными
уравнениями
4i -QuPiJrQi2P2-\- • ¦ • (27)
В трактатах по дипамике твердого тела коэффициенты Рп, у которых оба
значка одинаковы, называются моментами инерции, а коэффициенты Рп, у
которых значки разные, называются произведениями инерции. Эти названия мы
можем распространить на более общую проблему, которая в настоящее время
стоит перед нами и в которой эти количества не являются, как в случае
твердых тел, абсолютно постоянными, но являются функциями переменных '
qlt q% И т. д.
Подобным же образом мы можем назвать коэффициенты вида Qn моментами
подвижности и коэффициенты вида Qi2 произведениями подвижности. Однако мы
