Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(27) В том случае, когда величина коэффициента сопротивления, вместо
того, чтобы изменяться скачком от одной точки к другой, изменяется
непрерывно, мы можем оперировать с нашей средой так, как если бы она
состояла из тонких слоев, из которых каждый имеет свой постоянный
коэффициент сопротивления. Распределяя соответственным образом на
поверхности раздела этих слоев источники, мы можем свести настоящую
задачу, как и в (23), к тому случаю, когда коэффициент сопротивления
повсюду равен единице. Источники распределятся тогда непрерывно по всей
среде, и там, где жидкость будет течь от места с меньшим коэффициентом
сопротивления к месту с большим коэффициентом, окажутся источники; стоки
же будут там, где имеется течение противоположного направления.
(28) До сих пор мы предполагали, что коэффициент сопротивления в данном
месте среды не зависит от направления потока, но мы могли бы вообразить
себе И такой случай, когда коэффициент сопротивления в различных
направлениях различен. В таких случаях линии тока не будут, вообще
говоря, перпендикулярны К поверхностям равдого давления. Пусть а, Ь, с
будут слагающие скорости потока в какой-нибудь точке,
ч, ^ - составляющие сопротивления в той же точке. Тогда между этими
шестью величинами будет существовать следующая система трех линейных
уравнений, которые для удобства назовем "уравнениями проводи-щости":
а = Р& + + Rtf,
ь = ^2? + Qil +
C=Pst+ Qi^ + Щ-
3*
36 ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
В эти уравнения входят девять независимых коэффициентов, определяющих
проводимость. Для упрощения уравнений положим:
+ = 2iS' и Q\- R1 = 21T,...,
где
4Т* = (ft - Rtf + (Qt ^ Rtf + (<?3 - Rtf,
п I, m, п суть направляющие косинусы какого-либо фиксированного в
пространстве направления; Тогда наши уравнения проводимости переходят в
такие:
а = Рга + + ("Р - Щ) Т,
6 = P2p + ^'1Y-f-<S'8a-|-(^ - па) Т,
c = P3']f + "S'2<x-|-<S'ij3 + (ffMi - /р) 1
При помощи известного преобразования координат мы можем исключить
коэффициенты S и получим [12]:
а - Р'га. -{- (и'р - т'т) Т,
Ъ=Р$ + (1'ч-п'а.)Т,.
с = Р'т + (т'а-Гр)Г,
где Г, ш', п' суть направляющие косинусы выбранного фиксированного
направления относительно новых осей координат. Если мы положим:
dp D dp dp
dx ' г dy ' 1 dz
то уравнение непрерывности
da ,db .dc____"
dx ' dy ' dz ~~
переходит в
P' _L P' _i_ P' __________n
и если еще положим:
О ФАРАДЕЕВЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЯХ
37
то получаем обычное уравнение проводимости:
- а
d?'dr?^~ dC2 '
Отсюда ясно, что распределение давления пе меняется с введением
коэффициента Т[14]. Проф. Томсон показал, как следует представлять себе
субстанцию, для которой коэффициент Т выражает свойство, связанное с
некоторой осью, которая в отличие от осей Р[, Р'2, P's диполярна (т. е.
ее отрицательное направление не тождественно положительному направлению).
Ближайшие исследования этих уравнений проводимости можно найти в работе
проф. Стокса "О теплопроводности кристаллов" *) и, кроме того, в работе
проф. Томсона "О динамической теории теплоты" ,ч.V **).
Все, что было доказано в (14), (15), (16), (17) относительно наложения
различных распределений давлений, а также единственности распределения
давлений при заданном распределении источников, очевидно, остается в силе
и в том случае, когда сопротивление изменяется непрерывно и различно iio
разным направлениям. Действитёльно, более внимательное рассмотрение
приведенного доказательства показывает, что сила доказательства нисколько
не изменяется от ввв-димых при этом обобщений.
(29) Мы можем теперь приступить к доказательству некоторых теорем,
справедливых для самого общего случая, когда коэффициент сопротивления
среды в различных направлениях различен и изменяется от одной точки к
другой. Если распределение давлений известно, то при помоши данного в
(28) метода мы можем построить поверхности равного давления, трубки тока,
источники и стоки. Так как в каждой из клеток, на которые разбиваются
единичные трубки поверхностями
*) Cambr. and Dubl. Math. Journ., ноябрь 1851 г., а также Math, and Phys.
Pap. II.
**) Transactions of Royal Society of Edinbousgh, т. XXI, часть I, см.
также Math, and Phys. Pap. I, стр. 274.
38
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
равного давления, в единицу времени единица количества жидкости переходит
йт давлепий р к давлению р - 1, то очевидно, что в каждой клетке в
единицу времени на преодоление сопротивления тратится единица работы.
Число клеток в каждой единичной трубке определяется числом пересекающих
ее поверхностей равного давления. Если*давление в начале единичной трубки
равно р, а в конце р', то число клеток в ней есть р - р'. Таким образом,
если бы трубка простиралась от источника до места, где давление равно
нулю, то число клеток в этом случае было бы р, если же, наоборот, она
простиралась бы от стока (где давление равно - р') до места, где давление
равно нулю, то число клеток было бы р', и истинное число клеток
выразилось бы разностью р - р'.
