Избранные сочинения по теории электромагнитного поля - Клерк Дж.
Скачать (прямая ссылка):
единичным током в A, S' - поверхность, ограниченная током В, и I, т, п -
направляющие косинусы нормалей к поверхности, причем интегрирование
распространяется по всей поверхности.
Мы можем представить это в виде
М ц 2 s*n (r) й*п s^n ? dS' ds,
где dS' -элемент поверхности, ограниченной контуром В, ds - элемент
контура А, р расстояние между ними, 0 и 0' -углы между р и ds и между р
334
Джемс клерк максёелл
и нормалью к dS' соответственно, a f ~ угол между плоскостями, в которых
измеряются Ошв'. Интегрирование производится по контуру А и по
поверхности, ограниченной В.
Этот метод наиболее подходит в том случае, когда контуры расположены в
одной плоскости, т. е. когда sin 6 - 1 и sin f = 1.
(111) Третий метод. М есть та часть внутренней магнитной энергии всего
поля, которая зависит от произведения сил токов в обеих цепях при
условии, что каждый ток равен единице.
Пусть а, р, т - компоненты магнитной напряженности, обусловленной первым
контуром в некоторой точке; а', [3', у' - те же величины для второй цепи;
тогда внутренняя энергия элемента объема dV поля будет:
Часть, зависящая от произведения сил токов, будет:
Отсюда, если мы знаем магнитные напряженности / и /', обусловленные
единицей тока в каждой цепи, мы можем получить М путем интегрирования
по всей поверхности, где 0 - угол между направлениями / и
(112) Определим коэффициент М взаимной индукции между двумя круговыми
линейными проводниками в параллельных плоскостях при условии, что
расстояние между кругами везде одно и то же и мало но сравнению с
радиусами кругов.
?(аа'+1Г+п')^.
Применение к катушке
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕЙРЙЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО 1'0 ПОЛЯ 335
Если г - расстояние между контурами и а - радиус каждого круга, то, если
г мало по сравнению с а, мы найдем при помощи второго метода в качестве
первого приближения
Чтобы получить более точное значение М, допустим, что а и в! -радиусы
кругов, а Ъ - расстояние между их плоскостями; тогда
г2 - (a - "i)2 -]- Ьг.
Мы найдем М, рассматривая следующие условия. Во-первых, М должно
удовлетворять дифферен-
циальному уравнению
еРМ . d2M 1 (IM__q
da2 *' db2 a da
Это уравнение, будучи верным для любого магнитпого ноля, симметричного
относительно общей оси окружностей, не может само но себе привести к
определению М как функции а, ах и Ъ. Мы воспользуемся поэтому другими
условиями.
Во-вторых, значение М должно остаться тем же самым, если а и ах взаимно
заменятся.
В-третьих, первые дна члена М должны быть
такими же, как указано ныше.
Таким образом, М должно иметь форму следующего ряда:
# = 4(tm) In - 71+4-^-^-Ь r I ' 2 а
1 3&2 + (а{-а)2 1 (3&2-f(<j - о,)2) (а-а,) 1
+16 а2 32 а3 ' " J
_ 4" / 2 +1+16-l=51i=^ -
L I а 1о а?
1 (6 ft2-(a -а,)2)(а-aj 1
48 а* -+-••• J ¦
336
ДЖЕМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ
(113) Мы можем приложить этот результат к нахождению коэффициента
самоиндукции L круглой катушки, сечение которой невелико по сравнению с
радиусом круга.
Пусть сечение катушки -прямоугольник, ширина которого в плоскости круга
равпа с, а глубина, перпендикулярная к плоскости круга, равна Ъ.
Пусть средний радиус катушки будет а, а число витков равно п; тогда,
интегрируя, мы найдем:
где М (х, у; х', у') представляет значение М для двух витков, координаты
которых соответственно равны х, у и ж', у', а интегрирование производится
сначала по х и у по прямоугольному сечению, а затем по х' и у' по той же
самой площади.
Здесь а равно среднему радиусу катушки, г - диагонали прямоугольного
сечения, равной }^Ь2-|-с2, 0 - углу между т и плоскостью круга, п - числу
витков. Логарифмы неперовы, а углы измерены в радианах. В опытах,
проведенных Комитетом Британской ассоциации по определению стандарта
электрического сопротивления, применялась двойная катушка, состоящая из
двух приблизительно одинаковых катушек прямоугольного сечения, помещенных
параллельно друг другу ¦ с небольшим промежутком между ними.
М (х, у; х', у') dx dy dx' dy'
L --= Wa {In у +1 -i (O -J) ctg 20 - * cos 20 --jr- ctg2 0 In cos 0 -tg2
0 In sin 01 +
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 337
Значение L для этой, катушки было найдено следующим путем.
Величина L была рассчитана по предыдущей фор-. муле для шести различных
случаев, в которых рассматриваемые прямоугольные сечения имели всегда ту
же самую ширину, в, то время как глубина была А, В, С, А + В, В + С, А-\-
В-\-С и п= 1 в каждом случае.
Зная результаты Ь(А), Ь(В), Ь(С) и т. д., мы вычисляем коэффициент
взаимной индукции М {АС) обеих катушек следующим образом:
2ACM (АС) = (А+В + С)*Ь(А + В + С) --(A + B)2L(A + B)-~(B + C)*L(B + С) +
ВгЬ (В).
Отсюда, если число витков в катушке А и п2 - в катушке В, коэффициент
самоиндукции обеих катушек вместе будет: •
L п\Ь (А) + Ъпхп2М (АС) + п\Ь (С).
(114) Эти значения L рассчитаны в предположении, что витки'проволоки
равномерно расположены так, что они заполняют в точности все сечение.
Однако обычно этого не бывает, поскольку проволока чаще всего имеет
круглое сечение и покрыта изолирующим материалом.
