Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
непосредственно из (7.101), если положить z' = z:
(г\Ж(а\ a)|z) = r(z\z + -^r). (7.104)
Наряду с этим положим z' = z в (7.88). Это дает
<z|:tf(a+, a): | z> = <? (z*, z). (7.105)
Содержание последних двух соотношений можно выразить одним соотношением,
написав
<z|Ж{а\ a)\z) = Ж (V, z + ~г) =
s Жп (z, г) = (z | : Ж" (а+, а): | г), (7.106)
где Жп есть соответствующая функция z* и z, возникающая после выполнения
дифференцирований d/dz* внутри Ж Гтак, как если бы справа от Ж (г, г* +
d/dz*) в (7.104) стояла "егтиниття"! ('.пптнпгпение (7.1061 лает
логически простой рецепт для перехода от оператора Ж(af , а) к тому же
самому оператору, но записанному теперь в нормальной форме, а именно
: Жп{а\ а): = Ж(а+, а). (7.107)
Например, если Ж = aaf, то
(г Iaaf Iz> = (z + -Jg^z' = zz' + 1 = Жп{г', z) =
= (z|:(aa++ l):|z),
откуда следует уже известное равенство aa+ = afa + 1.
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИЙ 189
Соотношения приведенного выше типа, позволяющие получать нормально
упорядоченные формы операторов, фактически в квантовую теорию поля
впервые ввел Андерсон [7.14]. В последние годы их использование в
квантовых задачах теории когерентности изучали Луиселл
[7.2], Лэкс [7.15] и другие. Главную особенность подхода этих авторов
можно охарактеризовать, если обратиться к операторному уравнению
ib(d/dt)U(t) =*3@U(t) [ср. (6.13)], которому подчиняется эволюционный
оператор U(t). Это операторное уравнение можно представить в виде
дифференциального уравнения в частных производных с помощью следующей
цепочки равенств:
ih Un(z\ z, t) = ii~(z\U (а+, a, t)\z) =
= (z |Ж(а+, a) U (а+, a, t)\z) =
_*(г-,2+_|г)(/(2.1г+^,,)_
= ^(z\z + ~)un(z\z,t). (7 Л 08)
Используя решение этого уравнения U п, можно непосредственно записать
нормально упорядоченную форму оператора U:
U (а+, a, t) = : Un(af, a, t) : . (7.109)
Ha этом мы заканчиваем наше рассмотрение примеров и свойств векторов и
операторов в непрерывных представлениях по когерентным состояниям.
Необходимо добавить, что мы рассматривали операторы в основном
эвристически, игнорируя все вопросы об области применимости. Совершенно
ясно, однако, что наши замечания применимы ко всякому ограниченному
оператору, а также к неограниченным операторам с достаточно хорошим
поведением, например ко всем многочленам по а и а+. Нетрудно придумать
операторы, к которым наше рассмотрение не приложимо; например, уже в
(7.83) и
(7.84) возникают трудности для таких операторов J?, у которых bn =
(nl)a са^ '/2- Читателю предлагается также обдумать менее очевидные
трудности, возникающие при 1 > о > '/г-
190 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Г. Связь с пространствами Сегала - Барг манна
Выше мы уже отмечали, что каждой функции ф(г) с помощью определенного
множителя сопоставляется целая аналитическая функция z*, а именно
<z | ф) => ф (г) =; ехр (- j [ z I2) / (г*).
Очевидно, f(z*) однозначно определяет ф(г) и наоборот. Следовательно, мы
можем рассматривать саму аналитическую функцию f(z*) как функциональный
представитель абстрактного вектора |ф). Каждый член этого функционального
представления является целой аналитической функцией. Если есть целая
аналитиче-
ская функция, соответствующая вектору |фу), то скалярное произведение
можно определить, очевидно, цепочкой равенств
(ti I ф2> = ~ / d2z <гр! !г> <z |ф2) =
= - J dh [f 1 (z')]* ехр (- | z I2) f2 (z*) =
^ j\fAz)Yh(z)dp, (7.110)
где мы положили
dp, = (я)-1 ехр(- | z |2) d (Rez) d (Im z). (7.111)
Интуитивно ясно, что, приняв (7.110) в качестве определения скалярного
произведения, мы образовали гильбертово пространство, составленное из
целых функций f(z*). Такие пространства использовались Сегалом
[7.5] и Баргманном [7.6] в различных квантовых задачах, их свойства
подробно рассмотрены в статье Баргманна
[7.6]1).
Связь между пространствами Сегала - Баргманна и непрерывными
представлениями по когерентным состояниям была отмечена Швебером [7.7].
Простая связь между (2|ф) и f{z*) показывает, что многие черты
непрерывных представлений по когерентным состояниям при-
') В цитированных работах обычно используется обозначение f(z) для
функции, которую мы обозначаем через /(г*).
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ СОСТОЯНИЙ 191
сущи также и пространствам Сегала - Баргманна и что не совпадают лишь
очень немногие свойства. Из всех этих характерных черт упомянем лишь, что
свойства аналитичности, находящиеся, очевидно, на первом плане в
формулировке Сегала - Баргманна, позволили Барг-манну внести некоторую
ясность в вопрос о переполненности системы когерентных состояний \г).
Баргманн называет характеристическим набором (c)* комплексных значений г*
набор, удовлетворяющий следующему условию: если f(z*) = 0 при всех г* е
(c)*, то f(z*) = 0 для всех г*. Это означает соответственно, что если ф(г)
=0 при всех геб, то iг|з) = 0 1). Баргманн приводит два примера
характеристических наборов, а) Любой бесконечный набор точек в
комплексной плоскости, сходящийся к конечному пределу. Этот пример прямо
