Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
на z*. (Грубой аналогией этого является шредингеров-ское представление,
где Q представляется умножением на х.) Чтобы найти столь же простое
представление для а, заметим прежде всего, что в силу явного вида (z|z')
имеют место следующие соотношения:
(z\a\z') = z' {z \z') =
= z' exp (- j | z j2 + zV - y \ z' I2) =
= llT + -^)exp(-\\z?-rzz'-±\zr |2) =
= <7-93)
Но последнее выражение в (7.93) справедливо, очевидно, и для произвольной
линейной суммы 2cp|Zp). В свою очередь отсюда следует, что (2|а|ф) = =
(z/2 + д/дг*) (г \ ф); это означает, что в пространстве функций (2|ф)
оператор а можно представить дифференциальным оператором (z/2 + dldz*).
(Грубой аналогией этого является оператор Р = -ihdjdx в шредин-геровском
представлении.) Следовательно, в этом представлении основное
коммутационное соотношение принимает вид
(z | [а, аЦ | ф) = [у + ~, z*] (г | ф) = (z | ф). (7.94)
В более общей формулировке можно сказать, что действие произвольного
оператора УР = УР{а:, а) представляется с помощью соответствующего
дифференциального оператора в частных производных, а именно
(2 | W (а+, а) | ф) = JT (z\ | + ^г) (z I ф>. (7.95)
Далее, если воспользоваться записью (2|ф) = = ехр(-'/г \z\2)f(z*) и
операторным тождеством
ехР (J1212) дд ехР (- т1212) = jk - i> <7-96)
166 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
то легко получить
(2 | W (а+, а) |ф> = ехр (- Y | г I2) W (z\ X
(/.У/)
X ехр [у [ 2 |2) (г | ф) = ехр ( - -j! г |2) W (г'', -Jr) f (2*).
В качестве примера применения этих формул получим еще раз свойства
эволюционного оператора
ехр(-ita'a). В частности, с помощью тождества (7.55)
находим
(2 | ехр [ - it (а+а)] | ф) =
= ехр (- j | 2 |2 j ехр ( - itz -?rj f (z") =
= exp(- y|2|2)exp(- (expJin2*]) =
= exp ( - Ty I 2 i2j f (exp [In 2* - it]) =
= exp^- ~ j 2 |2) f (e~uz') = (euz | ф), (7.98)
что справедливо в силу последнего равенства в формуле (7.85).
Запись через дифференциальные операторы (7.95) можно, разумеется,
применить для получения матричных элементов оператора Ж по когерентным
состояниям, если положить |ф) = |2'). В частности,
(2 I Г (af, а) 12') = Г (2*, | + -А-j (2 | г'). (7.99)
В этом выражении частные производные действуют на все стоящие справа от
них члены; среди таковых имеются 2* из (2|2'), а также, возможно,
некоторые множители 2* из самого оператора W. Поскольку для (z|z')
имеется явное выражение, можно воспользоваться операторным тождеством
"2 12-"-1 ^-<Z|2') = -^-| + z' (7.100)
[аналогичным (7.96)], чтобы найти явные выражения для некоторых
производных. Именно, получаем
(2 | W (о+, а) | г') = <2 ! 2') V [z\ г'+-?г), (7.101)
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИЙ 187
где оставшиеся производные действуют как раз на тег*, которые содержатся
в самом Ж. Ясно, что если оператор Ж нормально упорядочен (все а
расположены справа), то в выражении для Ж все производные стоят справа от
всех г* и дают нуль, поскольку действуют лишь на члены, не зависящие от
г*. В этом случае мы лишь снова получили выражение (7.87) для матричных
элементов нормально упорядоченных операторов. Однако соотношения (7.99) и
(7.101) выполняются независимо от того, является ли оператор Ж нормально
упорядоченным.
Диагональные матричные элементы. Отметим теперь еще одно фундаментальное
следствие, вытекающее из общих свойств когерентных состояний, которое
легче всего получить из свойств аналитичности. Предположим, что
диагональные матричные элементы оператора Ж равны нулю-.
при всех z. Что отсюда следует? Для операторов Ж разумного вида
произвольные матричные элементы равны
откуда видно, что для выполнения условия (7.102) целая функция двух
комплексных переменных г* и г' (а именно двойной ряд) должна равняться
нулю на подмножестве z' = г. Однако из теории функций нескольких
комплексных переменных известно, что если такая функция двух переменных
равна нулю на подмножестве z' = z при всех г (или даже при г из
определенных последовательностей!), то она равна нулю тождественно.
Другими словами, если {г\Ж\г)= 0 при всех г, то {z\7f\z') = 0 при всех г
и г', и это просто означает, что Ж = 0. Обратная теорема очевидна.
Отсюда следует важный вывод, состоящий в том, что оператор Ж однозначно
определяется своими диагональными матричными элементами Ж {г) = (г \Ж \
г) или в нашем фазовом пространстве величиной W(p,q) = = {р, ц\Ж\р, q).
Таким образом, операторы Ж могут
(г\Ж\г) = 0
(7.102)
(г\Ж\г') =
188 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
быть представлены соответствующими функциями W(z). [Следует отчетливо
понимать, что когда мы представляем операторы Ж функциями^(г) = {г\Ж\г),
мы имеем дело с совершенно другим видом "представления", чем то, в
котором мы представляем векторы |ф) функциями ф(г) = (г|ф).]
Теперь, установив единственность диагональных матричных элементов как
представителей операторов, отметим некоторые их свойства. Для данного
оператора Ж {а?, а) диагональные матричные элементы можно получить
