Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 56

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 129 >> Следующая

интегрального ядра (z\<M\z') для оператора 9S [см. (7.53) и (7.54)].
') В таком духе распределение p(p,q) рассматривали Хусими [7.11], Кано
[7.12], Мета и Сударшан [7.10], а также Мак-Кенна и Фриш [7.13].
182 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Для простоты предположим, что оператор 38 диагоналей в представлении по
числам заполнения, т. е. (п \ 38 \т) = Ьп6Пт- Воспользовавшись (7.28а),
получаем
есть как раз требуемое интегральное ядро. Если Л представляет собой
эволюционный оператор осциллятора ехр(-itN), то 6n = exp(-int), и мы
получаем
Заметим, что матричные элементы эволюционного оператора получаются путем
простого преобразования аргументов у воспроизводящего ядра (z\z').
Следствием этого является тот факт, что под действием эволюционного
оператора когерентное состояние |г) переходит в новое когерентное
состояние \ZKn(t)) = \e~uz). Очевидно, что 2КЛ (t) = e~uz есть просто
комплексное решение для классического осциллятора, и мы предоставляем
читателю сформулировать эти соображения, пользуясь представлением о
фазовом пространстве, в котором должны выполняться соотношения (7.13) и
(7.14).
Рассмотрим теперь несколько более общие операторы и соответствующие им
интегральные ядра. Одними из простейших являются ядра, соответствующие
нормально упорядоченным операторам. Пусть оператор Л зависит от а+ и а
[т. е. = 38{af, а)] таким образом, что в каждом множителе все операторы
рождения а+ стоят слева от всех операторов уничтожения а. Если
предположить,
оо
Я I г') = ехр j! z' |2) ^ Ьа \ п), (7.83)
и, следовательно,
(г | 38 \ г') = ехр (- ~ [ z |2 - -j | z' р)
со
= ехр + г"е~иг' - ^
= {z \ е~и z') = (euz | z').
(7.85)
§ 2 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ СОСТОЯНИИ 183
что 38 разлагается в степенной ряд по а и а\ то этот ряд имеет вид
оо
а) = 2 brM)ras (7.86)
Г, 5 = 0
с подходящими комплексными коэффициентами brs. Тогда из (7.36) сразу
вытекает
(z | 38 (af, а) | г') = 38 (z', z') (z \ г') =
со
= 2 brs(z)r{zy{z\z'), (7.87)
г, s =0
причем последняя форма записи следует из (7.86), если это разложение
существует.
Понятие нормально упорядоченного оператора столь важно, что полезно
ввести операцию нормального упорядочения, обозначаемую двоеточиями справа
и слева. Назначение этой операции состоит в такой перестановке операторов
уничтожения и рождения в их произведениях (при полном пренебрежении их
некоммутативностыо!), чтобы все af встали слева от всех а. В
рассмотренном
выше примере : 38 : = 38, так как по предположению опе-
ратор J? уже был записан в нормальной форме. Однако обычно :(У : Ф О.
Например, если О = aaf, то : aaf : = = а''а = аа+-\ ф aaf, что следует из
коммутационных соотношений.
Важно понимать, что нормальное упорядочение есть в сущности соотношение
между символами, и что результирующий оператор зависит от исходного
символического представления оператора О. Например, хотя [а, а+]=1, но
для : [а, щ]: имеем : [о, aJ]: = 0, что отличается от : 1 : = 1. Поэтому,
чтобы определить : О :, нужно принять некоторую конкретную символическую
форму для О. Проще и логичнее всего выбрать символическую форму для О,
отвечающую некоторой заранее заданной функциональной форме О = (У(а+, а).
Тогда будет выполняться соотношение
(z I: О (а+, а): \ г') = О (z*, z') (г | г'). (7.88)
Поскольку произвольный оператор Ж может быть представлен в виде Ж {а+,
а), то ясно, что подходящими
184 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
перестановками символов (учитывая должным образом соотношение аа+ =
а+а+1) оператор УР можно превратить в нормально упорядоченный. Иными
словами, для каждого оператора УР существует соответствующий оператор УР
п[аУ, а), такой, что УР = : УР п Это представление удобно для некоторых
применений, и ниже мы опишем способ, который в ряде случаев помогает
определить УРп-
Для некоторых О мы можем записать : О : в явном виде с помощью более
привычных операторных выражений. Для этих целей оказывается полезной
следующая производящая формула:
: ехр (za+ - z а): = ехр (za+) ехр (- za) =
= ехр | z |2] ехр (za+ - z*a), (7.89)
выполняющаяся в силу (7.26). Рассмотрим, в частности, пример 0{аФ, а) =
ехр (xafa), для которого имеем
(z |: ехр (тafa) : [ z') = ехр (tzV) (z | z') =
= ехр[- -j |z I2 + (1 +t)z*z'-|| z' |2j. (7.90)
Если сравнить это выражение с (7.85) и положить (1 + т) = е~и или -it =
In (1 + т), то получим
: ехр(та+а): = ехр [In (1 +т)(сга)], (7.91а)
или, что эквивалентно,
: ехр [(е^и - 1) а*а\: = ехр [ - it (а+а)]. (7.91 б)
Очевидно, если т->- 1 (или если it-*+oo), то
: ехр (- afa): = | 0) (0 |. (7.92)
Представление с помощью дифференциальных операторов. Помимо представления
различных операторов с помощью интегральных ядер существует другое весьма
важное их представление. Рассмотрим сначала оператор af. Из (7.35)
следует
(z | af | ф) = z* (z |ф).
Это показывает, что в пространстве представления функциями (z|ip)
оператор af представляется умножением
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИИ 185
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed