Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА когерент. состояний 179
Существует несколько соотношений такого типа, позволяющих определить
(г/).
Можно воспользоваться свойствами аналитичности для того, чтобы получить
еще более простой способ нахождения (р, <? |ф)- Рассмотрим
(р, 0 | г|>) = (пЛ)~'и J ехр (- -^р - -^р) ф (х) dx =
= ехр (-^-)g(p). (7.77)
Из сравнения с (7.46) видно, что g(p) = f (- гр/У^й), так что в силу
аналитичности f можно непосредственно найти (р, У|ф). В частности, имеем
(р, q | ф> = ехр [ - -jf- (р2 + q2) j g(p + iq) (7.78a)
или
(z [ ф) = exp ( - J | z I2) g (i Y2h z'), (7.786)
где
g{p) = (яй)-,/4ехр(-^?-) J exp(~ ^--^r)tyWdx'
(7.79)
В качестве иллюстрации выберем функцию
фМ = Фо,шМ = (-5-)/4ехр(- (7.80)
являющуюся основным состоянием осциллятора с произвольной угловой
частотой со. Тогда, воспользовавшись основным гауссовым интегралом (при
ReH>0)
(2я)-1/2 | ехр ^ - ixB - dx = ]/~А ехр ^ - у AB2J,
получаем
g(p) = [y(co'/s + cD-,/2)] /2ехр[-^|^рр2], (7.81)
откуда (обозначая [ ф) через | 0Ш))
<2 10И) = [у (со1/2 + со-,/2)] к ехр { - у 1 г I2 + у (z'f }
(7.82а)
180 ГЛ. У. представление по когерентным состояниям
или
<р. ?lo0,> = [4-((r)V2 + °>-'/2)] /!х
J (7.826)
Х ехР{ ~ 2Й (1 + со) [р2 + <0^2 + 1 ^ ~ ^ Р^}-
Если со "= 1, то эти соотношения непосредственно сводятся к приведенным
выше соотношениям для |0i) = |0).
Замечание. Следует подчеркнуть, что (7.82) не является "естественным"
непрерывным представлением по когерентным состояниям для основного
состояния осциллятора с частотой со; в естественном представлении
используются основные состояния сдвинутого осциллятора, который сам имеет
естественную частоту со. Действительно, все такие естественные
непрерывные представления по когерентным состояниям являются формально
идентичными, если они выражены как функции г (т. е. все функции (г | ф)
совпадают), но отличаются по своему физическому содержанию в силу
определения г = (со l2q 4- гш" используемого при построении (р,q \
ф).
Ниже мы подробнее познакомимся с различными случаями такого рода, когда
будем иметь дело одновременно с несколькими различными осцилляторами.
Вероятностная интерпретация j(z|i|))|2. Сейчас самый подходящий момент
для того, чтобы расширить наши представления о физическом смысле величины
|(2'|ф)|2. Предположим, что мы имеем дело с материальной частицей в
одномерном пространстве. Тогда, как известно, шредингеровская волновая
функция ф(х) есть амплитуда вероятности (более точно, р (х) = | лр (лг)
12 есть плотность вероятности) нахождения частицы в точке х. Ясно, что
такие события являются взаимоисключающими, т. е. в результате измерения в
данный момент времени частица будет найдена в одной и только одной точке
х. Следовательно, распределение р(х) может быть в принципе почти любым.
С другой стороны, заметим прежде всего, что величина \(р, ^1 -ф)j2 не
есть плотность вероятности того, что частица находится в точке q и имеет
импульс р. Это скорее относительная частота того, что частица при
измерении будет обнаружена в состоянии, соответствующем основному
состоянию осциллятора, у которого средняя координата есть ц, а средний
импульс равен р. Квантовомеханически эти "события" не являются взаи-
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИЙ 181
моисключающими, так как в силу (7.61) два таких состояния до некоторой
степени схожи. Поэтому, используя р(г) = | (г!я|)) |2, мы имеем дело в
сущности со стохастическим описанием на основе зависимых вероятностей.
В качестве грубой классической аналогии такого описания представьте себе,
что Вы с завязанными глазами стреляете, не целясь, в листы газет, лежащие
на полу. Пусть р(п) означает относительную вероятность того, что страница
номер п будет продырявлена. Если все листы лежат отдельно и не
перекрываются, то события (какой-то из листов оказался продырявленным)
взаимно исключают друг друга. Однако если некоторые из листов
перекрываются, то события, вообще говоря, становятся невзаимоисключающими
и, как следствие этого, появляются ограничения на величины р(п).
Например, если листы 1 и 2 лежат точно один над другим, то заведомо будет
р(\)=р(2). Если не нарушены соответствующие ограничения, то такой способ
стохастического описания с помощью зависимых вероятностей не содержит
каких-либо неправильностей.
Возвращаясь теперь к распределению р (р, q) = = | (р, q \ г|з) |2,
заметим, что для макроскопических участков фазового пространства с
площадью Е h = 2лй
выражение fi_1 J р {р, q)dpdq, несмотря на зависимость
Е
вероятностей, есть достаточно точная мера вероятности найти частицу
внутри ячейки Е. Именно благодаря этому свойству р(р, q) обладает многими
чертами обычного классического распределения в фазовом пространстве Ркл
(р, я) ')•
Примеры операторов. Обратимся теперь к некоторым операторам и посмотрим,
как они выглядят и как действуют в непрерывном представлении по
когерентным состояниям. Сосредоточимся вначале на представлении с помощью
