Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
лишь подчеркнуть, что свойства j (х) могут оказаться
более простыми. В рассматриваемом случае естественно считать, что
основное уравнение принимает вид
nv(x) = j(x) (4.6)
и что его решение
V (х) = V (х; j) (4.7)
(здесь опущена явная зависимость от У0) представляет собой случайный
процесс, определяемый некоторым исходным процессом j (х). Уравнения типа
(4.6) называются "флуктуационными". Примером физической си-
§ ! ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
81
туации, для которой сделанные упрощения применимы, является тепловое
излучение, испускаемое большим числом атомных излучателей, как, например,
это имеет место для лампы или звезды.
Хотя источник j(x) может и не обладать гауссовой статистикой, такой
случайный источник часто не совсем строго связывают с "термостатом", или
"резервуаром". Независимость j(x) от реакции V(х) свидетельствует об
"устойчивости" термостата.
Рассматриваемый случай отличается от предыдущих примеров в двух
отношениях. С одной стороны, он значительно проще, поскольку поле V
связано с / линейным преобразованием [уравнение (4.6) линейно]. С другой
стороны, исходная случайная переменная j(x) является случайной функцией
координат и времени, в то время как в прежних случаях (только со
случайными начальными условиями) основные величины были только случайными
функциями координат. Иногда это слишком дорогая цена за полученные
упрощения.
4. В ряде случаев, когда предыдущее упрощение налагает слишком жесткие
ограничения, можно допустить, что источник не реагирует на детали
распределения некоторых случайных величин {ф/J. Пусть имеется только два
источника; тогда уравнения запишутся в виде
Можно принять, что эти уравнения детерминированы, а флуктуируют только
начальные условия. Предположим также, что ф2 описывает характерные черты
термостата, состоящие в том, что на него не оказывают возмущающего
влияния распределение V(х) или ф](х) и что он представляет собой источник
для V и фь статистика которых в широких пределах не зависит от их
начального вида. Предположим, что последнее уравнение для ф2 можно решить
с постоянными V и фь пусть решение имеет вид f{x). Как характеристика
термостата величина f(x) по предположению не зависит от V(x) и фч(х).
? V (х) = j(x; V, ф,, ф2),
? ф,(х) = К, (х; V, фь ф2),
? ф2(х) = F2(x; V, фь ф2).
(4.8а)
(4.86)
(4.8в)
82
ГЛ. 4 СТАТИСТИКА ПОЛЯ
Подставляя это решение в (4.8), получаем систему флук-туационных
уравнений
которые можно интерпретировать следующим образом. Поле V определяется как
решение связанной системы уравнений, в которой источники зависят не
только от величин V и фь но и от "внешней" случайной функции f(x).
Нетрудно обобщить эти уравнения на несколько "внешних" случайных функций
f\(x) и U{x) или предположить, что каждое поле имеет свой собственный
термостат.
Как и в предыдущих примерах, основные уравнения могут существенно
зависеть от полной пространственно-временной предыстории функции f(x).
Сложным может быть не только распределение функции [(х)- в общем случае
может и не существовать простого линейного соотношения между V(x) и
случайным процессом f(x).
5. В качестве последнего примера рассмотрим кратко атмосферную
турбулентность, упомянутую в гл. 3. Можно считать, что эффект этого типа
обусловливается случайными изменениями показателя преломления, которые
влияют не на источник, а на условия распространения. Таким образом,
оператор Даламбера ? становится случайным, поскольку скорость
распространения в среде испытывает флуктуации. Эту задачу можно
проанализировать методом, описанным в гл. 3, где уравнение решалось для
заданного показателя преломления п(х)\ при этом поле
рассматривается как случайное, статистика которого определяется случайной
величиной п(х). В форме (4.10) задача не является более общей, нежели
задача, описываемая уравнениями (4.9), хотя причины стохастического
поведения в этих случаях физически различны.
? V (*) = /(*; V, ф" f),
? ф, (х) = F, (х; V, ф,, f),
(4.9а)
(4.96)
V (.г) = V {х\ п)
(4.10)
Общая модель. Будем в дальнейшем исходить из общих уравнений (4.9) и для
определенности запишем их
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРАВПЕНИП
83
в виде
? У (а) = У3 (а) + ф2 (а) + f (а)), (4.11 а)
? ф (а) = У (a) ф (а) + g (а). (4.11 б)
Здесь у поля источника ф индекс 1 опущен и введены две случайные
вынуждающие силы / и g (в некоторых случаях это может быть одна и та же
сила). Эти уравнения напоминают уравнения классической электродинамики
или уравнения, описывающие волны в нелинейном диэлектрике, и т. д.
Существенной особенностью анализируемых уравнений является их
нелинейность и наличие случайных сил.
В некоторых случаях эти уравнения можно линеаризовать в "рабочей точке",
иначе говоря, рассматривать систему линейных уравнений, справедливых для
малых отклонений,
v(x) = V (а) - В0 (а), (4.12а)
ф (а) = ф (а) - ф0 (*)> (4.126)
где Уо(а) и фо(х)-известные регулярные функции. Мы не будем здесь
подробно рассматривать довольно простые результаты, получающиеся в таких
