Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
классического и полуклассического рассмотрения на случай векторных полей
можно найти в работах Борна и Вольфа [1.1], Манделя [2.1], О'Нейла [1.3],
Берана и Паррента [1.2] и Манделя и Вольфа [3.11].
В классической теории частичной когерентности возникает много других
интересных вопросов. Среди них следует отметить связь между формальным
распределением Бозе - Эйнштейна для фотоотсчетов, временем когерентности
и т. д. и аналогичными понятиями статистической механики и теории
информации. Рассмотрение этих вопросов проведено в статье Габора [3.8] и
в цитируемой в ней литературе.
4
Статистика поля
§ 1. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
В предыдущих главах показано, как, применяя теорию стохастических
процессов, можно развить теорию частичной когерентности и определить
полуклассиче-скую статистику фотоотсчетов. С физической точки зрения
открытым, однако, остается вопрос о выборе соответствующего
статистического описания поля. Во многих случаях именно в этом
заключается сущность проблемы; число общих методов ее решения весьма
ограничено. Поэтому каждую конкретную задачу следует рассматривать
отдельно в свете ее физического происхождения.
В настоящей главе мы весьма кратко остановимся на ряде характерных
статистических задач и покажем, каким образом следуёт формулировать
уравнения, приводящие к их решению. Прежде чем обратиться к деталям
решения определенной задачи, предпочтительнее сначала рассмотреть
некоторые общие характерные
свойства, присущие большинству стохастических проб-
лем, и сформулировать общие принципы их анализа. Хотя здесь приводится
классическое рассмотрение, многие методы и формальные соотношения имеют
точные аналоги в квантовой теории.
Упростим задачу, считая волновое поле скалярным У (г, /) == У(х), и
рассмотрим следующие уравнения общего вида1):
? V (*) = / М = i (*; V, {г|>*}), (4.1 а)
П^к{х) = Fk{x) = Fk{x\ У,{ф/}). (4.16)
') Здесь ? = V2 - (d2/dt2) - оператор Даламбера.
§ I. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
79
Физический смысл этих уравнений состоит в следующем: поле V(х)
динамически зависит от источника j(x), свойства которого в свою очередь
определяются самим полем V и конечным числом других полей {фЛ}.
Аналогичная интерпретация применима к второй группе уравнений. Не совсем
строго фь можно называть "материальными полями" (или "полями источников")
для "поля излучения" V.
В (4.1) подразумевается локальная зависимость j и Fh от полей V или ф/г
(по крайней мере локальная во времени). При этом условии поле V(х)
зависит от источника j(x), который в свою очередь определяется значениями
поля в той же самой пространственно-временной точке. Проблемы, которые
описываются уравнениями общего вида (4.1), можно грубо разделить на ряд
категорий.
А. Причины появления статистики
1. Рассмотрим поле V в области, не имеющей источников; тогда для
свободного поля получаем уравнение, обсуждавшееся в гл. 1:
? V (х) = 0. (4.2)
Функция V(х) удовлетворяет гиперболическому дифференциальному уравнению
второго порядка, которое имеет единственное решение, определяемое
начальными условиями. Однако можно пренебречь точными значениями
начальных условий и, таким образом, получить правильные сведения только о
некоторых частных вопросах, касающихся поведения V(х). Например, для
гармонической волны, излучаемой генератором, нельзя получить информацию о
значении фазы в данный момент, если пренебречь начальным значением фазы.
Решение уравнения (4.2), которое можно записать следующим образом:
V(x)^V(x-,V0), (4.3)
где Уо обозначает начальные условия (или их совокупность), представляет
собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения
начальной случайной величины У0.
80
ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
2. Неопределенность, вводимую начальными условиями, можно распространить
на все связанные уравнения (4.1). Предположим, как и раньше, что решение
таких уравнений имеет вид
V (х) = V (х; V0, (W), (4.4а)
% {х) = ^к(х-, Н0, (ф/о))- Н-^6)
Если все или часть начальных условий остаются неопределенными, то V (х) и
все ф^х) можно интерпретировать как случайные процессы с распределениями,
зависящими от распределений начальных случайных переменных V0 и {фм}.
В свою очередь источник j(x) можно рассматривать как вторичный
случайный процесс
/(*) = /(*; V, {фй}), (4.5)
задаваемый случайными процессами V и всеми
3. Рассмотренная выше картина для некоторых частных случаев допускает
существенное упрощение. Может случиться, что число излучателей, создающих
источник j(x), так велико, что статистика источника j(x), определяемого
соотношением (4.5), не зависит от особенностей распределений переменных V
и Это обстоятельство является следствием известной центральной пре-
дельной теоремы, или закона больших чисел, которая, грубо говоря,
утверждает, что сумма большого числа независимых случайных величин
обладает гауссовым распределением. В гл. 9 эта теорема будет рассмотрена
более подробно в квантовой форме. Здесь мы хотим
