Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
новые распределения. Покажем, что новые распределения можно также
получить, считая некоторые параметры рассматриваемого распределения
случайными величинами и усредняя соответствующим образом
характеристический функционал.
Предположим сначала, что в (3.26) T(v) имеет форму
Г (v) = G (v) + pH (v), (3.27)
где все члены положительны. Будем рассматривать G и Н как заданные
функции, а р - как новую дискретную случайную величину (р = 0, 1, 2, . .
.) с распределением Пуассона, среднее значение которой (р) = р.
Полученный характеристический функционал для нового модифицированного
распределения (с учетом случайного характера р) имеет вид
сю
С {S (0} = 2^ехр[-ц-||5|2(О + рЯ) dv] =
р= О
= exp j - J \ S \2 G dv - j-t ^ 1 - exp ^ - J | S |2 Н dv j j j-. (3.28)
Хотя функционал (3.28) является стационарным, условие (3.22) не
выполняется; таким образом, он не соответствует независимым
распределениям для каждой частоты.
Рассмотрим другой пример. Возьмем теперь в (3.26) Г(v) в виде
оо
f(v) = G(v)+S^(vy)6(v-v/), (3.29)
/=1
где опять все ^члены положительны. Предположим, что функции G и К заданы,
а частоты Vj будем считать независимыми случайными переменными, каждая из
которых равномерно распределена в интервале \v\^.F/2,
64
гл. з. полуклассическая теория
Грубо говоря, F(v) представляет собой случайную величину, состоящую из
большого числа независимых 6-образных вкладов (ситуация, аналогичная
дробовому шуму), амплитуды которых определяются функциями К{\), а
центральные частоты распределены равномерно. В пределе, когда yV ->оо, F-
>оо, причем величина N/F = р остается конечной, можно получить
результирующее модифицированное распределение (см. вывод Райса [3.3]) с
характеристическим функционалом
С {S(t)} = exp { - J [ \S I2 G +p(l - exp[- К I 5 |2])] dv j-.
(3.30)
Как и для функционала (3.26), мы имеем здесь независимое распределение
для каждой частоты.
Вышеприведенное краткое рассмотрение должно дать хотя бы грубое
представление о применении характеристических функционалов для изучения
случайных функций. В дальнейшем мы введем другие случайные процессы и
соответствующие характеристические функционалы помимо уже рассмотренных.
Однако во всех случаях основные понятия остаются неизменными.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ К ЧАСТИЧНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ
А. Одиночные счетчики
Теперь обратимся к моментам числа отсчетов, рассмотренным в начале
настоящей главы. Согласно (3.3), величину п2 можно выразить через
корреляционную функцию четвертого порядка, точное значение которой
зависит от статистики.
Будем рассматривать излучение теплового источника (лампы, звезды и т.
д.), описываемое стационарным гауссовым распределением с неопределенной
фазой (лазерное излучение характеризуется иной моделью). Путем
непосредственного разложения функционала (3.26), содержащего всю
информацию об ансамбле, получаем
¦fp ([Re J 5*(/)7(0й7]4) =
= ^г{ JJ S'(t')(V(nv (t"))S{ndt'dt"}\ (3.31)
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ К ЧАСТИЧНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ 68
Это соотношение справедливо для произвольных гладких функций S(t).
Приравнивая соответствующие коэффициенты, находим, что соотношение (3.31)
будет выполняться, если имеет место равенство1)
<Г (У) V (У) Vs (У) v (У)> = (У* (У) У (/2)> (У* (*з) У (U)) + +
(У*(фУ(/4))(У(/з)У(/2)). (3.32)
Таким образом, для представляющего специальный интерес вычисления
величины п2 находим
<У* (У) У (У) У* (t") У (У')> = (V (У) у (У)) (У* (У') у (У')> + + <У*
(У) У (У')> <У*(У')У(У)> =
= </ (У)> (I (У')> +1 Г (У - У') |2, (3.33)
где введена автокорреляционная функция ансамбля в точке г,-:
Г (У - t") = (У* (Г) У (У)) (3.34)
[в гл. 1 она была обозначена через Гц(('- У')]. Из (3.2) и (3.3) найдем
дисперсию
г т
а2 - п2 - (п)2 = a2 J J | Г (У - У') |2 У/' У/" + п. (3.35)
о о
Следовательно, имеется избыточный отсчет или группировка отсчетов,
которая зависит от Т и функции взаимной когерентности Г.
Введем нормированную функцию у (в гл. 1 у")> которая определяется
соотношением
V (У ~ t") = Г(г~0)П (3.36)
*) В более общем случае соотношение (3.26) приводит к равенству
(П у* (Ур-i) у(м> = 2 П (V0 у (WX
р=1 р p=i
где суммирование нризводится по л! перестановкам Я чисел р Р(р), р = 1,
..., ".
66
ГЛ. 3. ПОЛУКЛАССПЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
и, согласно (1.17), удовлетворяет условию |у(/'- /") ^ 1. Следуя Манделю
[2.1], определим функцию
т т
\\y{t'-t")?dt'dt"
О о т
= jr j (T-T)lv(r)l2dT. (3.37)
Функция %(Т) имеет размерность времени и представляет собой удобную
неубывающую меру временной эволюции когерентности сигнала.
Из соотношения | у (0 1^1 следует, что 1(Т) <7 Т. Если для некоторого
начального интервала времени функция y(t) близка к единице, то Если
?(Е)< Т, то это указывает на наличие конечного интервала, в течение
которого имеет место частичная когерентность. Если y(t) спадает до нуля с
характерным временем ?Г (например, как функция е~'!т или ехр[-, то для
больших Т У> 2Г функция ЦТ) становится почти постоянной и имеет следующее
значение:
Т ( оо
?(Г) = 4 | (Г - т) | V (т) |2dT"2<T Н\у(Гх)[Чх
