Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
стохастическую переменную
оо
x(t)= 2 XjUjit), (3.11)
/=*!
которая является случайной функцией времени. Подобным образом каждой
гладкой последовательности можно сопоставить гладкую пробную функцию
оо
s(t)=2ls,u,(t). (3,12)
/='
60 гл. 3. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Пользуясь этими двумя величинами, характеристический функционал гауссова
распределения можно записать следующим образом:
С {s (/)} = (exp | i J s(t) x (t) df j) = exp J s (t) (x (t)) dt -
\ s{t')(Ax{t')Ax{t")) s{t")dt'dt"^. (3.13)
Условия, которым должны удовлетворять функции s(t), очевидно, имеют вид
| | s (t) (x(t)) I dt < оо, (3.14a)
J J s(t')(Ax(t')Ax(t"))s(t")dt'dt"<oo. (3.146)
Как и в случае последовательностей Sj, обычно не требуется точно
указывать полный набор гладких функций. В большинстве интересных для
физики случаев можно считать, что подходящие гладкие функции бесконечно
дифференцируемы и при /->-±оо спадают быстрее, чем t~n, где п - любое
положительное число.
Временное представление типа (3.13) удобно для анализа стационарных
распределений, для которых
(x(t)) = (х(0)) = т (3.15а)
и
<Д* (t') Ах {t")) = (Ах {t' - t") Ах (0)). (3.156)
Последнее выражение можно записать в общей форме (Ах (t') Ах (t")) = |
exp [ - 2niv(t' - t")\ p (v) dv, (3.16)
где (I(v)^-O. Если применить эти соотношения и ввести гладкую функцию,
зависящую от частоты,
s (v) = J exp (2nivt) s (t)dt, (3.17)
то выражение (3.13) принимает вид
С {s (v)} = exp \ims (0) - J s' (v) p (v) s (v) dv j. (3.18)
Полученный результат означает, что каждая спектральная компонента
стационарного гауссова стохастического
§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
61
процесса является величиной с независимым гауссовым распределением и
относительной дисперсией ft (v).
Резюмируя анализ этого примера, отметим, что выражение (3.18) содержит
все величины, необходимые для расчета произвольного момента стационарного
гауссова стохастического процесса; сказанное означает, что моменты
зависят, следовательно, только от величины т и одной функции Д (v).
Следует также отметить, что условия стационарности можно вывести из
(3.13), просто требуя выполнения равенства C{s(H} = C{s(/ + /0)} для
любого t0 и любых гладких функций s(t).
В теории когерентности удобнее иметь дело не с действительными случайными
волновыми полями, а с соответствующими аналитическими сигналами. Принимая
во внимание соотношение (1.3), для действительных функций времени S<r) и
прежде всего имеем
оо
J J S{r} (t) v'r (t) dt = Re J S(r)* (v) p(r) (v) dv=
0
CO
= Re J S* (v) V (v) dv = Re j S* {t) V (t) dt, (3.19)
о
где у = ll2[Vi'r) + i'VW] - аналитический сигнал соответствующего
волнового поля и S = V2[S(r) + nS(i)] - аналитический сигнал
соответствующей гладкой функции. Таким образом, применяя аналитические
сигналы У(/) и S(t), характеристический функционал для любых
распределений поля можно представить в виде
С {S (/)} = (exp \i / S(rV(r,df]) = (exp [i J (sV + SV*)df]).
(3.20)
Рассматриваемый ансамбль стационарен, если для любых V (t) и S(t)
выполняется условие
С {S (/ + /")} = С {S (О). (3.21а)
В частотном представлении это условие принимает вид С {5 (v) exp ( -
2nivt0)} = С {S (v)} (3.21 б)
для любых t0 н 5 (v).
62
ГЛ. 3. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Спектральные компоненты распределены независимо, если для всех S,(v) и
S2(v), для которых 5, (v) S2(v) = 0, выполняется условие
С {S, (v) + S2 (v)} = С {S, (V)} С {S2 (V)}. (3.22)
Для комплексных волновых полей часто имеет место другое условие,
связанное с отсутствием достаточно полных сведений о фазе. Физически оно
может появиться, например, если поля V(t) и eirfV(t), где фаза ф
постоянна, рассматривать как равноценные. Равноправие фаз в этом случае
можно обеспечить, полагая, что условие
(0} = C{S(/)} (3.23)
выполнено для всех действительных ф и S(^). В свою очередь это условие
будет выполняться, если для некоторого функционала С\ имеет место
соотношение
C{S(/)} = C,{S*(OS(r)}, (3.24а)
или, в терминах гладкой спектральной функции,
С {S (V)} = С, {S* К) S (v")}. (3.246)
Наконец, отметим, что удовлетворить как условию равноправия фаз,
так и условию стационарности можно
простым (но не единственным) способом, потребовав выполнения соотношения
С {§ (v)} = С {S' (v) S (v)} (3.25)
для некоторого приемлемого функционала С.
Применим эти условия к конкретным случаям. Прежде всего рассмотрим опять
случай гауссова распределения. Обобщая очевидным образом выражение
(3.13), получаем характеристический функционал комплексного стационарного
стохастического гауссова процесса с неопределенной фазой
С {S (0} = ехр [ - [ J S' (tr) (V (t') 1/' (t")) S (t") dt' dt"\ =
= exp [ - | J S* (t') Г (f -1") S (t") dt' dt"] =
exp
- J 5* (v) Г (v) S (v) dvj; (3.26)
§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
63
этот функционал удовлетворяет условиям (3.21) - (3.25). Физически f(v)
представляет среднюю энергию на частоте v, содержащуюся в волновых полях,
которые образуют определенный гауссов ансамбль.
В гл. 2 с помощью перемножения характеристических функций мы получили
