Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оо
= J e~XaUp{U)dU, (2.36)
О
где
и
р (и) = J р, (U - W) р2 {W) dW. (2.37)
о
Последнее соотношение представляет собой распределение случайной
переменной
?/==?/, + U 2, (2.38)
равной сумме двух независимо распределенных величин U1 и U2, имеющих
соответственно распределения р\ и р2.
В качестве простого физического примера, иллюстрирующего применение этих
формул, рассмотрим фотостатистику для малых времен Т, для которых
справедливо приближение Uj = TIj. Предположим, что 1\ и /2 представляют
интенсивности двух линейно независимых мод поляризации падающей волны.
Если эти моды статистически независимы и характеризуются тепловым
распределением (2.16), то соответствующая производящая функция получается
из (2.19):
Q(A, Т) = Q, (Я, T)Q2(k, Т) =
= (1 + Ы1)~1{1 +Ы2Г\ (2.39)
52 ГЛ. 2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОТСЧЕТОВ
где для j = 1, 2 мы положили
П/ = аТ (Ij) = аТ10!. Введем важный параметр
(2.40)
(2.41)
который, как показано в гл. 5, можно связать со степенью поляризации
падающего излучения. Не ограничивая общности, можно положить /Qi ^ /02-
Тогда
я, - я2 ^01 - ^02
Я] + я2 ^01 + /ог
^01 ~ "2 (1 + &) Iо,
102 '
"1 = -с[ 0 +&)п,
П2=]г{\ -^) П,
где
Л) = А)1+/о2> п = п1 + п2 -аТ10. Из (2.39), преобразуя дробь
_J [
г, - я2) L
1
П 2
(1 + lnt) (1 + Яя2) (я.
1 -f- %ti\ 1 -f-
(2.42а)
(2.426)
(2.43)
. (2.44)
можно получить распределение отсчетов и интенсивности. В частности, из
(2.20) находим распределение отсчетов
1 Г 1 1
Р^П' ^ &п 1 [1 + 2/(1 +&)п}п+] [1 +2/(1 -<?) я]п+' /'
(2.45)
а из (2.16) -распределение интенсивности
Л') = ^т;{мр[-тп^т77]-ехр[.
21
(1 -&)h
¦]}• (2-46)
Кроме того, отметим, что для теплового распределения, связанного с
(2.44), в силу свойства п2 = п( 1 +2п) получаем для дисперсии отсчетов
а2 = (п, - п2)_1[п2(1 +2Л,) - "2(1 + 2га2)] - я2 =
= [("j + п2) + (п\ + п2)\ = п[ 1 + еп], (2.47а)
§ 3. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ
53
где
е == (га) 2 [га? + п1\ =
= у (п)~2 [(га, + га2)2 + (га, - га2)2] =
= у[1+Л-
(2.476)
В гл. 5 показано, что для поляризованного света & = 1 и е = 1 [и значение
сг2 согласуется с результатом (2.18)], а для неполяризованного света & =
0 и г - '/г-
Заметим, что если 5s = 0, то Q(A) = (1 + кп/2)~2. В более общем случае,
если
что соответствует N статистически независимым "тепловым" переменным с
одинаковыми распределениями, дисперсия отсчетов равна
здесь использован факториальный момент второго порядка, определяемый
соотношением (2.8). Для эвристических целей часто оказывается полезной
интерпретация общего распределения как совокупности независимых
"тепловых" распределений, число которых (N для рассмотренного выше
случая) можно найти, очевидно, непосредственно из дисперсии. Параметр
вырождения б (который выше был равен n/N) представляет собой среднее
заполнение на одну независимую переменную, или, как часто говорят, на
одну "ячейку".
Если принять (2.48) в качестве адекватного приближения для полной
производящей функции, то из
(2.48)
а2 = га2 - га2 = га (га - 1) + га (1 - га) =
= ra(l-ra)+^-Q(X) =
я=о
= га (1 - га) + ^ 1 + -jj \ п2 = п ^ 1 + -у V, (2.49)
54 ГЛ. 2. распределение фотоэлектрических отсчетов
(2.6) следует, что соответствующее распределение переменной U
определяется выражением
(2-50>
Помимо этого, из (2.7) найдем распределение отсчетов
(2.5|,
Р=1
В последующих главах с этой точки зрения будет интерпретировано несколько
распределений.
3
Полуклассическая теория фотоэлектрических отсчетов
§ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ
Рассмотрим теперь распределение фотоэлектрических отсчетов для
произвольных частично когерентных световых пучков, падающих на счетчики.
Для упрощения анализа будем по-прежнему использовать скалярное оптическое
волновое поле. Ниже в основу расчета положена статистика поля; при
вычислении распределения отсчетов P(n,T + t,t) будем рассматривать
волновое поле Р(г,/) как случайную величину. Пусть в точке г, находится
идеализированный "точечный" счетчик (переменную г; опускаем) и
распределение отсчетов стационарно (так что можно опустить и f). В этом
случае соотношение (2.5) имеет вид
X exp
а J V* it') V (*') dt'
(3.1)
где угловые скобки означают усреднение по ансамблю полей V. Из этого
соотношения непосредственно получаем значения среднего числа отсчетов
оо т
п = ^пР(п, Т) = ( a J V'{t')V (t') dt') (3.2)
4=0 о
56
ГЛ. 3 ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
и среднего квадрата числа отсчетов
оо
пг = ^ п2Р (п, Т) =
п - 0
т т
= (а2 j J V (t')V(t')V'(t")V(t")dt'dt"\ + n. (3.3)
о о
Из (3.3) следует, что для полного расчета среднего квадрата п2
недостаточно знать функцию взаимной когерентности Г, определяемую
соотношением (1.13). Если для анализа интерференционных явлений в
частично когерентном излучении нам было достаточно только этой
корреляционной функции, то теперь необходимо использовать корреляционную
функцию четвертого порядка. Для вычисления моментов высших порядков
необходимо знать корреляционные функции еще более высокого порядка. Как и
