Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
п=0 0
оо
= 5](1-А)"Р(п, Т-И, f) (2.23)
п=о
при действительном значении А, лежащем в интервале О-^А-^1. Однако
благодаря особым свойствам аналитических функций функция C(s + it) во
всей верхней полуплоскости единственным образом определяется частичной
информацией, содержащейся в (2.23). Таким образом, показано, что
характеристическая функция, а следовательно, и распределение определяются
единственным образом.
Явная связь распределения интенсивности с распределением отсчетов дается
соотношением, полученным
48 ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОТСЧЕТОВ
Виддером [2.6]; она рассмотрена в книге Шохата и Та-маркина [2.7]. Здесь
мы изложим этот вывод в несколько измененном виде. Введем для удобства
обозначение
у = aU и определим величину р (у)a~l р (U) так, что
оо
Р(п, Т + /,/)= \^р (у) e-ydy. (2.24)
о
Это соотношение естественно наводит на мысль о применении полиномов
JIareppa Lp(y) (р = 0, 1, 2, ...):
L* (У) ^jreyW уРе~У = kZkT- ' (2'25>
удовлетворяющих условию ортогональности
оо
j Lp (у) Lq (у) е~У dy = брг (2.26а)
о
Это условие простой заменой переменных можно привести к виду
оо
2 J Lp (2у) Lq (2у) е~2" dy = 6pq. (2.266)
о
Теперь определим конечные линейные комбинации распределения отсчетов
оо
Кп = 2 J Ln (2у) р (у) е~У dy =
О
п
= 2 V(")(-2)*P(?, T + i, th (2.27)
где n - любое число. В силу условия ортогональности
оо
р (у) = 2 hiLm (2у)е~У. (2.28)
гп = О
§ 3. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ
49
Таким образом, в первоначальных обозначениях имеем
со
р (U) = а 2 lmLm (2aU) е~а". (2.29)
т~ О
Соотношение (2.29) определяет p(U) через P(k,T + t,t).
В связи с соотношением (2.29) сделаем несколько замечаний, которые
относятся также к аналогичным разложениям, рассматриваемым ниже. Как и в
отношении любого разложения в ортогональные ряды, при интерпретации
соотношения (2.29) следует проявлять осторожность. Чтобы ряд (2.29)
сходился при любом значении U и. таким образом, определял функцию p(U),
со
достаточно выполнения условия 2|Ат|<°°, поскольку
т = О
для положительных аргументов aU справедливо неравенство | Lm (Чаи) |
1. Если сумма коэффициентов Хт
сходится абсолютно, функция p(U), определяемая соотношением (2.29),
непрерывна. Однако при расчете часто приходится пользоваться
сингулярными, или разрывными, распределениями p(U). В качестве примера
можно назвать часто применяемое прямоугольное распределение: p(U) = Uo'
при О *CU -*CU0 и p(U) =0 при U > U0. В точке Uо, в которой функция p(U)
сингулярна, или разрывна, представление в виде ряда (2.29), строго
говоря, может быть несправедливым. В этом случае следует обратиться к
более общей интерпретации ряда типа (2.29), а именно рассмотреть
сходимость "в среднем". В частности, если ввести неполную сумму,
зависящую от М,
м
pM(U)^a ^1тЬт(2аи)е-аи, (2.30)
т=0
тогда справедливо представление) 2.29) интегрируемой функции p(U) в том
смысле, что
со
lim [\p(U)-pM(U)\dU = 0. (2.31)
М-"оо "
Этот вид сходимости последовательности функций Pm{U), М = 1, 2, ... часто
называют U сходимостью.
50 гл. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОТСЧЕТОВ
Ее можно применять здесь, поскольку мы имеем дело с плотностями
вероятности. Такая сходимость означает, что для каждой ограниченной
функции b (U) последовательность приближенных средних значений
Ьм= / b(U)pM(U)dU, М = 1,2,..., (2.32а)
сходится к точному значению
b е= J b(U)p(U) dU. (2.326)
Приведем примеры функций b(U), для которых приближенные средние значения
сходятся к точным значениям:
1) exp(isH) для характеристической функции (2.21);
2) ехр(-Ка U) для производящей функции (2.6) и
3) (я!)-1 (aU)n ехр(-aU) для вероятности п отсчетов
(2.5).
А. Независимые вклады
В заключение настоящей главы остановимся на применении производящей
функции (и в равной мере характеристической функции) для анализа
распределения. Опустим для удобства зависимость от времени и рассмотрим
для простоты два распределения отсчетов и их производящие функции
со
Q/(А.) =2(1-Л)" Я, (л) 0'=1. 2)- (2-33)
п=0
Образуя произведение функций Qi и Q2, находим
оо
QM = Qi (A.) Q2 (I) = 2 (1-А,Г+п,Мл,)Мл2)^
П\, п2-0
оо
= 2(1 -я)" Я (л), (2.34)
п=О
где
П
Я (л) = 2 Pi (я - т) Ро (т). (2.35)
т=0
Каждое значение Р(п), очевидно, положительно, и их сумма равна единице,
так что (2.35) определяет "на-
| 3. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ 51
стоящее" распределение. Таким образом, мы приходим к важному выводу,
состоящему в том, что произведение производящих (или характеристических)
функций дает новое распределение. Таким способом часто удобно
конструировать распределения или выводить новые, особенно если их
стагйстика определяется несколькими независимыми причинами.
Вследствие прямой связи между Q(A) и характеристической функцией
распределения p(U) распределение интенсивности дается интегральным
преобразованием. В частности, из (2.6) находим
Q(A) = Q, (Я) Q2(A) =
оо оо
= / J ехр [ - ка (?/, + и2)} Р[ (?/,) р2 (U2) dUxdV2 =
О о
