Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
тепловые источники, для которых такое приближение имеет смысл для времен
Т 10-4 сек,
| 2. СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕНСИВНОСТИ
43
Если считать интенсивность / приблизительно постоянной, то можно принять
T + t
U= j I(t)dt = IT. (2.12)
t
Таким образом, распределение величины U соответствует распределению
величины /, о которой мы имеем больше физических представлений. Вначале
рассмотрим именно такую физическую модель.
В следующей главе мы проанализируем распределения фотоотсчетов,
базирующиеся на более глубоких физических моделях, которые содержат
ансамбли волновых полей V(t), и, в частности, рассмотрим более подробно,
чем в настоящей главе, их зависимость от Т.
А. Статистика фотоотсчетов для малых временных интервалов
Для более ясного понимания эффектов, связанных с флуктуациями
интенсивности в теории фотоотсчетов, рассмотрим прежде всего случай,
когда применимо соотношение (2.12). Если рассматривать интенсивность /
как случайную переменную с распределением р{1), то распределение отсчетов
можно записать в виде
со
Р(п, 7')= JiS^e-o/7-р (/)<*/, (2.13)
о
где опущена несущественная зависимость от t.
Одним из самых важных общих свойств обобщенного распределения Р(п, Т),
является группировка отсчетов, которая приводит к возрастанию дисперсии.
Если принять с физической точки зрения естественное предположение о том,
что р{1) обладает всеми необходимыми моментами, то среднее число отсчетов
равно
оо оо со
й = ]?лР(п, Т)=\ ^-(-^ е-а1ТР (/)dl =
п=0 0 п=О
оо
= J a Tip (/) dl = а Т </>,
о
44 гл. 2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОТСЧЕТОВ
где различные моменты интенсивности определяются выражением
оо
(In) = J 1пр (/) dl. (2.14)
О
Аналогично для среднего квадрата имеем [ср. (2.8)]
оо сю
й2 = п2Р (п, Т) = | [а2Г/2 + а77] р (/) d/ =
/1 = 0 о
= а2Т2 (I2) + аТ </);
следовательно, дисперсия о2 равна
о2 = п2 - (га)2 = аТ (/) + а2Т2 [(/2) - </>2] (2.15)
и всегда превосходит га, если распределение р(1) не является б-функцией
Дирака б(/ - /о).
Примером распределения, представляющего особый физический интерес,
является тепловое распределение
p(I) = ITle~III\ (2.16)
для которого моменты имеют вид
оо
{Г) = 1о' { Ine~IlhdI =
о
оо
=/о J хпе~х dx = п\/о. (2.17)
о
Поскольку га = аТ{1)=аТ10, соотношение (2.15) приводит к дисперсии
ст2 = а77о + aV [2/о - /о] = "( 1 + га), (2.18)
которая превышает значение, выведенное из распреде-
ления Пуассона.
19
18
11
16
15
W
13
12
II
10
9
8
1
8
5
9
3
2
1
О
ав1
сс1
Пс
COI
чг
1
*-i-
9 10 11 12 Число доотоэлентроноб
тость числа отсчетов F (п) от числа фотоэлектронов енного гауссова
источника (У) и лазерного излуче-цанным Арекки [2.4].)
зетствует приближенному геометрическому распределению :ом фотоотсчетов п
- {F (О)/F (1) - 0-1 j .енному распределению Пуассона с п
1,4; кривая 2 соответ* --F (D/F (0)"1,2. В этих
фемя наблюдения Т было порядка 3*10 5 сек.
46 ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОТСЧЕТОВ
Из (2.6) следует, что производящая функция этого распределения
определяется выражением
оо
Q(A, T) = Io' | ехр(- XalT -j-'j dl =
О
= (1 + Ка10Т)~' = (1 +Ы)~\ (2.19)
Наконец, распределение отсчетов для рассматриваемого случая вычисляется
непосредственно из (2.5):
оо
n--T^J>"p[-'("r + 7L)]"i/ =
О
оо
-(аГ)Я (аГ + 1 \"_<,г+1) fxne-xdx =
1оП\ \ /(_
о
= (1 + а10ту1 (l + )_П = (1 + ft)-1 (1 + h-r\
(2.20)
где h = аУТ.
В своих экспериментах по фотоотсчетам Арекки [2.4] проверил
характеризующее это распределение соотношение Р(п, Т) ~ у11, где у = (1 +
га-1)-1. Эксперимент был поставлен таким образом, что условие (2.12)
выполнялось. Арекки показал также, что распределение Пуассона приближенно
описывает фотоотсчеты при возбуждении высокостабилизированным лазером
(фиг. 2). Ряд других распределений отсчетов, для которых условие (2.12)
не выполняется, рассмотрен в следующей главе и в гл. 9, где используется
квантовый подход.
§ 3. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТСЧЕТОВ
Важные физические свойства частично когерентного излучения содержатся в
самой природе статистического ансамбля. Естественно возникает вопрос, в
какой мере с помощью распределения отсчетов Р (п, Т + t,t) можно
определить общее распределение p(U) в (2.5). Прежде
§ з. нахождение распределения интенсивности 47
всего докажем, что полное распределение отсчетов единственным образом
определяет p(U).
Характеристическая функция для распределения p{U) дается фурье-
преобразованием
оо
C{s)= J eisup{U)dU. (2.21)
о
Как и выше, моменты распределения p(U), если они существуют, можно найти
из C(s) дифференцированием. Однако поскольку интенсивности не могут быть
отрицательными, C(s) является фактически граничным значением (при / -*-
0+) аналитической функции
оо
C{s + it) = J eisu~tu p(U)dU, (2.22)
о
которая аналитична во всей верхней полуплоскости t > 0. Частичные
сведения об этой функции в верхней полуплоскости содержатся в выражении
оо
С(/Аа) = J e~XaUр (U) dU =
о
оо оо
= \ ~r-e~aUP(U)dU =
