Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
~ J dp(t')
точное значение произведения в левой части раскрывается правой частью
выражения. Следовательно, вероятность отсутствия отсчета в течение
указанного интервала времени просто равна
Ри(О, Т + t, t) = exp
t+т
- a j" I (t') dt'
t
§ 1. ПОСТОЯННАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ
39
Подчеркнем еще раз, что этот результат получен в предположении об
отсутствии флуктуаций интенсивности. Подобным образом, вероятность Яо(1,
Т + t, t) того, что в интервале времени /, t + Т произойдет один отсчет,
определяется формулой
t + T
t + T
"y^dpit") JJ |1 - dp(t')]" -> | dp(t") exp
t" t
из которой следует
t + T
dp (О
t + T
t + T
P0 (1, T + t, t) = a j I (t') dt' exp - a J I (t') dt'
Из аналогичных соображений получаем, что в случае постоянной
интенсивности I(t') вероятность того, что в интервале времени /. t + Т
произойдет и отсчетов, определяется выражением
Р0{п, Т + t,t) =
/ t+T \П г t+T
|a | I{t')dt'\ exp - a J" /(t') dt'
(2.2)
которое представляет собой известное распределение Пуассона. Формула
(2.2) дает распределение отсчетов, соответствующее источнику
электромагнитного поля строго постоянной интенсивности, например
идеальному лазеру.
Если ввести обозначение
t + T
ц = a J I (t') dt',
то (2.2) запишется в виде
PQ (п, Т + t, t) = Р0 (п, р) =
я!
Пользуясь последним выражением, нетрудно рассмотреть некоторые
классические свойства распределения
40 ГЛ. 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОТСЧЕТОВ
Пуассона. Среднее число отсчетов равно
оо
11 =
2 пР0(п, р) = ^
а для среднего квадрата имеем
оо оо
я2 = ^ П2Р0 (п, р) =
оо
Важной характеристикой любого распределения является дисперсия ст2 = (п -
п)2 = п2 - (п)2, которая представляет собой меру флуктуаций п около
среднего значения п\ для распределения Пуассона
Свойства распределения удобно описывать посредством характеристической
функции, которая для распределения Пуассона имеет вид
Эта функция содержит всю информацию о распределении Ро(п, р). Например,
из (2.3), производя повторное дифференцирование относительно s и полагая
s = 0, можно получить различные моменты распределения. Ниже мы часто
будем пользоваться аппаратом характеристических функций.
§ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕНСИВНОСТИ
В гл. 1 при анализе частично когерентного света мы интерпретировали
волновые поля V(t), а следовательно, и интенсивность /(/) как случайные
переменные. Чтобы учесть это свойство /(/), следует провести усреднение
пуассоновского распределения отсчетов
а2 = р2 + р - р2 = р = п.
оо
оо
§ 2 СЛУЧАЙНЫЕ ИНТЕНСИВНОСТИ 41
Р0(п, Т + t, /) по соответствующему распределению интенсивности. При
расчете моментов и других величин интенсивность входит фактически только
в одной комбинации. Обозначим
T + t
lf = j I{t')dt'. (2.4)
t
Благодаря случайному характеру /(/') величина U сама является случайной с
некоторым распределением p(U). Обобщенное распределение фотоотсчетов,
учитывающее случайность U, определяется формулой Манделя [2.1]
оо
Р (п, T + t, t) = | e~aUp (U) du (2.5)
о
и не является уже пуассоновским. Весьма удобная производящая функция
обобщенного распределения отсчетов дается выражением
оо
Q(X, T + t, t) = ^(\-X)nP(n, T + t, t) =
n = 0
00
= je-(tm)P(U)dU. (2.6)
о
Видно, что производящая функция Q фактически связана с p{U)
преобразованием Лапласа. Разлагая Q около значения Х = 1, получаем с
учетом (2.5) и (2.6)
Р(п, T + t, t) = ~(-l)nj^Q(X, T + t, /)| , (2.7)
! Л. = 1
тогда как разложение около значения X = 0 приводит к выражению
п{п - 1) ... (п - k + 1) =
со
= ^ п {п - 1) . . . (п - k + 1) Р (п, T + t, t) =
П = О
. Л*
(2.8)
А=0
42 ГЛ. 2, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОТСЧЕТОВ
где k = 1, 2, ... . Эти величины обычно называют "факториальными
моментами".
Характеристическая функция для распределения отсчетов
оо
С (s, T + t, t) = 2 P (n, T + t, t) (2.9)
n=0
также может быть весьма удобной для вычислений. Само распределение
отсчетов дается фурье-преобразо-ванием
2Я
Р(п, T + t, t) = ~ | e~isnC (s, T + t, t)ds. (2.10)
о
В результате многократного дифференцирования в нуле получаем
оо
нк = Yinhp{~n'T+t' T+t'
п=° s-0
(2.П)
Следует отметить, что, хотя соотношения (2.5) и (2.6) сравнительно
просты, распределение p{U), равно как и U, являются производными
величинами. Непосредственный же физический смысл имеет не величина U, а
волновое поле V(t). Именно последняя величина входит в микроскопические
уравнения движения и именно ее статистику мы исследуем. В следующих
главах эти вопросы будут рассмотрены более полно как с классической, так
и с квантовой точки зрения.
Здесь же при анализе проблем фотоотсчетов выделим два круга вопросов.
Далее в этой главе мы займемся непосредственно соотношением (2.5) и
рассмотрим некоторые общие свойства, которыми обладает любое
распределение p(U). Этот анализ имеет одно физически наглядное
приложение. Пусть время Т достаточно мало, так что в течение интервала Т
величина /(t) остается практически постоянной, f(t)^I. Разумеется, это
зависит ог природы источника; существуют искусственно синтезированные
