Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае в выражении (1.36) остается только второй член. Применяя
теорему Грина с соответствующей функцией G к переменному г', получаем
Г (г, г'; v) =
= .f J 1г <r' s> <г''§/)г <s's';v)dS dS'- -38)
i 5
Здесь существенно, что значение функции Г в двух точках пространства
определяется линейным соотношением из значений Г, взятых на поверхности
S. Аналогичные замечания, разумеется, относятся и к выражению (1.35),
зависящему от времени.
§ 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ 33
Для иллюстрации предположим, что поверхность S является плоскостью z = О
и что на этой плоскости функция Г не равна нулю в области,
соответствующей конечной апертуре. В этом случае функцию Грина G легко
выразить через простейшую функцию G0
Ik (г-г')
Со(г,г') = 1^7з7Т. (1.39)
Пользуясь, например, методом зеркальных изображений, G можно взять в виде
G (г, г') = G0 (г, х', у', z') - G0 (г, х', у', - z'), (1.40)
где в правой части равенства точно определена зависи-
мость от координаты г'. Очевидно, G = 0, если точка г' находится на
поверхности S, т. е. г' = 0. (Легко видеть также, что С = 0, когда г
находится на S.)
Функции dG/dn, входящие в (1.38), определяют коэффициенты К, введенные в
выражении (1.7). В обычном интерференционном эксперименте с двумя
отверстиями мы имеем "светящуюся поверхность" 5, состоящую из й-образных
источников, и квазимонохроматиче-ское распределение частот. Иначе говоря,
спектральная ширина функции Г гораздо меньше центральной частоты V.
Положим
R^[(x-x'f + {y-y'f + z^h (1.41)
и примем, что в пре-делах спектральной ширины функции Г произведение kR
1. В этом случае
ML = JL( eikR eikR = KetkR (1 42)
дп дг у '2nR j 2nR2 2яR2 - H
Здесь при переходе от первого приближенного выражения ко второму
используется то обстоятельство, что спектральная ширина функции Г
предполагается очень малой. Из уравнения (1.42) можно найти коэффициент К
в (1.7); остающийся фазовый коэффициент exp(2nivi?) определяет временное
запаздывание в (1.7). Таким образом мы непосредственно получаем свойства
К, использованные при выводе соотношения (1.12).
34
ГЛ. 1. ЧАСТИЧНО КОГЕРЕНТНЫЙ СВЕТ
А. Теорема ван Циттерта - Цернике
Важное свойство функции взаимной когерентности состоит в том, что
частичная когерентность приобретается в самом процессе распространения.
Это легче всего можно показать с помощью соотношения (1.38). Предположим,
что поверхность S является поверхностью оптического источника и что свет
обладает свойствами излучения теплового источника, например звезды. В
этом случае, очевидно, поле в точке s не зависит от поля в точке s', если
расстояние |s - s'j превышает "когерентную длину источника", которая
составляет, например, не больше метра. Физически это означает, что
световые источники статистически независимы на протяжении любого
макроскопического интервала. Отсюда следует, что функция T(s, s';v)
должна обратиться в нуль, если расстояние |S - s'| достаточно велико.
Если в этом масштабе оставшаяся часть подынтегрального выражения в (1.38)
изменяется достаточно медленно, то, не теряя точности, можно применить
соотношение
f (s, s'; v) = 6s(s- s')f (s, v), (1.43)
где 6S означает 8-функцию, взятую на поверхности. Следовательно, в этих
предположениях (1.38) приводится к выражению
Г (г, г'; v) = J -^-(г, s)-^-(r', s)f (s, v)dS, (1.44) s
которое, вообще говоря, при г Ф г' не обращается в нуль. Другими словами,
поле, которое, скажем, статистически независимо в различных точках
поверхности звезды, при распространении приобретает частичную
пространственную когерентность. Теорема ван Циттерта - Цернике
утверждает, что выражение (1-44) для функции взаимной когерентности можно
интерпретировать иначе, чем это было сделано выше. Ван Циттерт и Цернике
отметили, что формула для функции взаимной когерентности Г определяет
также амплитуду поля в точке г. Эту амплитуду можно построить с помощью
принципа Гюй-
§ 4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ 35
генса следующим образом: 1) точечный источник находится в точке г',
излучение от которой затем распространяется [чему соответствует функция
dG*/dn(r', s)] к различным точкам s, находящимся на "апертуре",
определяемой поверхностью S; 2) в каждой точке s на поверхности 5
излучение отражается, причем относительный коэффициент отражения равен F
(s, v); 3) наконец, излучение от каждой точки s поверхности
распространяется [dG/dti (г, s)] в точку наблюдения г. Утверждение о
эквивалентности функции взаимной когерентности и волновой амплитуды,
построенной описанным выше способом, и называют теоремой ван Циттерта -
Дернине. В некоторых случаях функцию взаимной когерентности можно
определить, не проводя усреднения по ансамблю, только путем построения
волнового фронта. Дальнейший анализ теоремы ван Циттерта - Цернике можно
найти в книгах Борна и Вольфа [1.1] и Берана и Паррента [1.2].
Интересно продолжить обсуждение соотношения
(1.44) и получить приближение дальнего поля, особенно удобного для
