Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
путем измерения видности Т, можно определить степень когерентности
IV12(т) [. Однако представляющее физический интерес спектральное
распределение fi2(v), вообще говоря, непосредственно связано с фурье-
образом функции Yi2(т), а не функции ! V12 (т) I,. В связи с этим
возникает вопрос, в какой мере можно использовать j yi21 для определения
величины
Yi2 (т) = ехр [г<р12 (т)] | у!2 М I • (1-28)
Эту проблему, известную под названием "фазовой. проблемы", изучали, в
частности, Вольф [1.7], Кано и Вольф [1.8], Мета [1.9] и Нуссенцвайг
[1.10]. Поскольку уыД) представляет собой нормированную функцию взаимной
когерентности, она является аналитическим сигналом. Последнее свойство
можно применить для определения фазовой функции ф12(т). Если
предположить, например, что функция Yi2(т) не имеет нулей в нижней
полуплоскости комплексного т, тогда функция
lnyi2 (т) = In I у12 (т) I + "р12 (т) (1.29)
30
ГЛ. 1. ЧАСТИЧНО КОГЕРЕНТНЫЙ СВЕТ
остается аналитической в нижней полуплоскости и, следовательно, является
аналитическим сигналом. Поэтому действительную и мнимую части выражения
(1.29) можно связать преобразованием Гильберта и определить ф!г(т)
соотношением
при условии, что интеграл сходится.
В основе этого расчета лежит предположение, что функция уи(т) не имеет
нулей в нижней полуплоскости комплексного т. Если это предположение
несправедливо, то можно показать, что выражение для уы содержит
дополнительный коэффициент, называемый фактором Блашке:
где умножение распространено на все значения т0), в которых функция
yi2(т) в нижней полуплоскости обращается в нуль. Если мы не располагаем
никакой дополнительной физической информацией, которая позволяла бы точно
определить положение нулей функции Y12(т) и таким образом вычислить
дополнительный фазовый множитель (1.31), то комплексная степень
когерентности будет недоопределена. Нуссенцвайг рассмотрел отдельные
спектральные распределения E^v), которые часто задают исходя из
физических соображений, и показал, что в этих случаях комплексная степень
когерентности не только содержит большое число нулей в нижней
полуплоскости т, но и что значение фазы, связанное с фактором Блашке,
сравнимо с "минимальным" значением (1.30).
§ 4. ВРЕМЕННЫЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ
В ПРОЦЕССЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛА
(1.30)
- ОО
(1.31)
Рассмотрим теперь важное свойство функции взаимной когерентности, а
именно покажем, что она удовлетворяет тому же волновому уравнению, что и
скалярные
§ 4 СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ 31
поля. В свободном пространстве как реальные поля, так п связанные с ними
аналитические сигналы удовлетворяют обычному волновому уравнению, которое
в системе единиц, где скорость света с = 1, имеет вид
dt2
здесь
(У2--|г У(г, 0 = 0, (1.32)
_сЯ_ jp__,
~дх2 ^ ду2 г дг2
- оператор Лапласа. Умножая это уравнение на комплексно сопряженное
решение V*(r',t'), получаем
У2 - -Цг) V (г, t) V* (г', t') = 0. (1.33)
Поскольку уравнение (1.33) справедливо для каждой волны V{r,t) ансамбля,
оно справедливо и для среднего по ансамблю, т. е.
(У2-|^)Г(г, *;г', t') = 0. (1.34а)
Возьмем уравнение, комплексно сопряженное уравнению (1.34а), и поменяем
местами штрихованные и нештрихованные координаты. В результате приходим к
уравнению
(v'!-|r)r(r.l;f',l') = °. (1-346)
Впервые эти волновые уравнения для функции взаимной когерентности были
получены Вольфом [1.11]. Следует подчеркнуть, что в отношении
распространения функция взаимной когерентности ведет себя как волна,
однако, если говорить о наблюдаемых величинах, то согласно (1.14) она
ведет себя как интенсивность. Ни амплитуда волны V, ни интенсивность / не
обладают одновременно обоими этими полезными свойствами.
Поскольку функция взаимной когерентности удовлетворяет волновым
уравнениям (1.34), для нахождения интегрального представления функции Г в
произвольной точке пространства при помощи ее значений на некоторой
поверхности можно применить теорему Грина. Чтобы получить интегральное
представление функции Г,
32
ГЛ. 1. ЧАСТИЧНО КОГЕРЕНТНЫЙ СВЕТ
исключим прежде всего t и t' из Г и перейдем к частотам v посредством
соотношения
оо
Г (г, /; г', t') = J Г (г, г'; v) e~2niv (t~t'> dv, (1.35)
о
которое имеет место вследствие предполагаемой стационарности ансамбля. В
результате вместо (1.34) получаем
(V2 + ?2)I~ (г, г'; -V) = 0, (1.36а)
(V/J + к2) f (г, г'; v) = 0, (1.366)
где k - k(v) = 2nv. Пусть G(г, s) = G(r, s; v) -функция
Грина для уравнения (1.36а); тогда применение теоре-
мы Грина к этому уравнению дает
Г (г, г'; v) =
= J {с(r's) r'' (s>r'; v)}d5 0-37)
(более общее рассмотрение проведено в гл. 6, § 5). Здесь s обозначает
точку на поверхности S, dS - элемент площади поверхности и д/дп-
производная по направлению нормали к поверхности. Функцию Грина G можно
выбрать разными способами. В частности, удобно выбрать функцию G так,
чтобы она была равна нулю, если любой аргумент попадает на поверхность S.
