Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующему выражению в классической теории. Этот замечательный
результат был впервые получен Судар-шаном:
8.7а. Sudarshan Е. С. G., Phys. Rev. Lett., 10, 277 (1963).
8.76. Sudarshan E. С. G., Proceedings of the Symposium on Optical Masers,
New York, 1963, p. 45.
При использовании такого диагонального представления сохраняется вид
классических формул для распределения отсчетов, выраженных через
плотности распределений. Нужно учесть, что это уже полностью
квантовомеханическое описание, и, следовательно, плотность распределения
не обязательно должна быть положительно определенной. В диагональном
представлении ф(г) формально соответствует классическому распределению.
Среди возможных весов ф (z) имеются такие, для которых выполняется
условие ф(г)>0. Таким свойством обладают все обычные классические
распределения. В частности, тепловые состояния представляются в
классической теории гауссовым распределением. Квантовое описание этих
состояний с помощью линейной комбинации проекций на когерентные состояния
с гауссовой весовой функцией было дано Глаубером [8.1а].
Первоначально диагональный вес записывался в виде формального
бесконечного ряда, состоящего из дираковских S-функций и производных
возрастающего порядка. Методы записи диагонального веса без использования
такого бесконечного ряда рассматриваются в работе Клаудера и др.:
8.8. Klauder J. R., McKenna J., Currie D. G., Journ. Math. Phys., 6, 733
(1965)
376
БИБЛИОГРАФИЯ
и в работе Мета и Сударшана [7.10] . В последней статье роль
диагонального веса как распределения характеризуется с помощью линейного
функционала. В обеих статьях содержится хорошо разработанная процедура
определения матриц плотности как предела последовательности, каждый член
которой имеет диагональное представление. В [8.8] эти веса представляют
собой функции, квадратично интегрируемые, в то время как в [7.10] они
составляются из большого, но конечного числа производных 6-функций. В
любом случае матрица плотности однозначно определяется как предел
диагонально представимых операторов. Но последовательности операторов в
работах [8.8] и [7.10] сходятся по норме Гильберта - Шмидта, поэтому
правильное среднее значение гарантируется только для операторов Гильберта
- Шмидта. Существование более строгих свойств сходимости по следовой
норме, необходимых для получения правильных средних значений любого
ограниченного оператора, образуемого последовательностью представленных в
диагональном виде операторов с очень гладкими весовыми функциями, было
продемонстрировано независимо Клаудером и Рокка:
8.9. К 1 a u d е г J. R., Phys. Rev, Lett., 16, 534 (1966).
8.10. Rocca F., Compt. Rend., 262, A547 (1966).
Первоначально диагональный вес записывался в виде суммы производных б-
функций, порядок которых полностью определялся максимальным числом
фотонов в соответствующем состоянии. Однако в том случае, когда в
состоянии имеется бесконечное число фотонов, такой способ записи
диагонального веса не дает распределение в Фъ- Это было доказано в
работе:
8.11. Cahill К- Е., Phys. Rev., 138, В1566 (1965).
С другой стороны, Миллер и Мишкин в работах
8.12а. Miller М. М., Mishkin Е. A., Phys. Rev., 164, 1610 (1967).
8.126. Miller М. М., Journ. Math. Phys., 9, 1270 (1968),
БИБЛИОГРАФИЯ
377
показали, что бесконечный ряд, составленный из производных 6-функций
возрастающего порядка, может дать распределение в SZ2, являющемся фурье-
образом 3)2-
Представление Вейля для операторов, использованное нами при анализе
диагонального представления, обсуждается в классической книге:
8.13. Weyl Н., The Theory of Groups and Quantum Mechanics, New York,
1931, p. 274.
Эти представления и их применение для статистического описания в
квантовой теории изучались в классической статье:
8.14. Moval J. Е., Proc Cambr. Phil. Soc., 45, 91 (1949).
Этот же вопрос рассматривается и в работе Вигнера:
8.15. Wi gne г Е., Phys. Rev., 40, 749 (1932) и далее развит Сударшаном:
8.16а. Sudarshan Е. С. G., Lectures in Theoretical Physics, Vol. II, New
York, 1961.
8.166. Jordan T. F., Su da r sha n E. C. G., Rev. Mod. Phys., 33, 515
(1961).
Тщательный анализ математических аспектов представлений Вейля содержится
в статьях:
8.17. Loupias G., Miracle - Sole S., Comm. Math. Phys., 2, 31 (1966).
8.18. Pool J. С. Т., Journ. Math. Phys., 7, 66 (1966).
Свойства операторов, необходимые для полного понимания доказательств
диагонального представления, приведенных в нашей книге, можно найти в
книге [3.6], стр. 40-78 или в работе:
8.19. Schatten R., Norm Ideals of Completely Continuous Operators,
Berlin, 1960.
Свойства распределений можно найти в классической работе:
8.20. Sghwartz L., Theorie des distributions, Vol. I, II, Paris, 1951.
378
БИБЛИОГРАФИЯ
Конкретные распределения и пространства пробных функций, представляющие
для нас более непосредственный интерес, рассмотрены в книге:
8.21. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над
