Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
где в соответствии с гл. 2 спиновый избыток 2т равен разности между
числом спинов, направленных вверх, и числом спинов, направленных вниз.
Минимум функции Ландау по отношению к т определяет (равновесную)
свободную энергию системы F(x,H). До сих пор мы вводили свободную энергию
только для теплового равновесия. Функция Ландау F определяется для любой
ситуации, равновесной или неравновесной. Значение т или намагниченности
при минимуме F задает тепловое равновесное значение т или
намагниченности. Введение функции Ландау позволяет избежать многих
затруднений, которые часто сопровождают использование экстремальных
свойств свободной энергии. Эта функция названа именем советского физика-
теоретика, который применял ее во многих задачах, особенно при изучении
флуктуаций в жидкостях и при исследовании превращений в ферроэлектриках,
сверхпроводниках и антиферромагнетиках. Использование F в качестве
свободной энергии, обобщенной на неравновесные условия, аналогично
использованию обобщенной энтропии сг0б в гл. 4; действительно,
введенная выше
функция сг(т;т, Н) и функция (39) являются примерами выражения
для
обобщенной энтропии.
Рассмотрим систему в конфигурации с 4iN + т спинами, направленными вверх,
и 1kN - т спинами, направленными вниз. Энергия такой системы равна
U (т) = - 2m\i0H, (38)
где Цю - спиновый магнитный момент. Энтропия системы при этой
конфигурации была найдена в гл. 4, и в приближении |/n|-<jV она равна
о (т) = N 1п 2 - 2m2/N. (39)
Подобное приближение не обязательно, и мы ввели его для упрощения рас-
суждений.
МИНИМУМ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ РАВНОВЕСИИ
251
Функция Ландау от аргумента т для свободной энергии имеет вид (рис. 18.2,
18.3)
F (т\ х, Н) = U (т) - ха(т) = - 2m\i0H - xN ln 2 + 2xm2/N. (40)
Мы видим, что при данном значении т увеличение магнитного поля приводит к
понижению свободной энергии, а увеличение температуры -к ее повышению.
т->
0 5 10 15
F{m)
-5
40
-15
Рис. 18.2. К определению равновесного значения (т) спинового избытка 2т
для конкретных значений температуры х, числа частиц N и магнитного поля
Н.
Равновесию соответствует минимум F (т). При низких температурах вклад в F
определяется в основном энергией U, но при высоких температурах главную
роль может играть
слагаемое -та.
При равновесных условиях в системе функция F(m;x,H) имеет минимум по
отношению к т при постоянных т и Н. Таким образом,
(S"""0"-2,'",f+4(tm)w- <41)
Обозначим через (т) значение т, удовлетворяющее этому условию равно-
весия. Тогда из (41) получаем
(m) = Nii0HI2x. (42)
Для получения свободной энергии системы в равновесии подставим значение
{т) вР(т-,х,Н):
F (т, Н) = - Nx In 2 - N\ilH2 j 2х. (43>
В этой задаче свободная энергия зависит от независимых переменных Них.
В качестве проверки соотношений (42) и (43) используем равенство,
вытекающее из (23.37), для единицы объема
( dF \
-2m/u0H /
\/-Иб{т)= -И(МЫ24тг/0)
<т> =U{m)-?6(m) '
¦252
ГЛ. 18. СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ
Тогда из (43) получаем в согласии с (42)
f OF \ N\lIh N\ilH
Ыт =-----------Г-' м = 2^"
где М - намагниченность.
Пример. Теория среднего поля для спин-спинового взаимодействия*). В
рассмотренной нами выше модельной системе •спины взаимодействовали только
с внешним магнитным полем, но не друг
т-*-
0 5 10 15
F(m)
-5
-10
-15
Рис. 18.3. График функций V (т.) и -та (т.) при фиксированном Н для
температур >/4Ть VjT, И Т!.
.Минимум функции свободной энергии Ландау имеет место при <т>=20, 10 и 5
соответственно. График для всей величины свободной энергии приведен
только для температуры у2хi (см. график при T=Tj на рис. 18.2). Отметить
различие величин <т> по сравнению с рис. 18.2.
с другом. Добавим теперь взаимодействие между спинами, не интересуясь его
физическими причинами. Потребуем только, чтобы оно было ферромагнитным,
т. е. чтобы энергия системы была тем меньше, чем большее число спинов
выстроено параллельно друг другу. Допустим далее, что энергия
взаимодействия зависит только от избытка спинов, направленных вверх, по
сравнению со спинами, направленными вниз, т. е. от |2т|. Такое грубое, но
весьма -плодотворное приближение называется приближением среднего поля.
Оно не учитывает должным образом зависимости взаимодействия от
расстояния: л реальном твердом теле взаимодействие пары спинов зависит от
расстояния между ними, и значит, вероятность того, что два спина
параллельны, .зависит от этого расстояния.
Формально, приближение среднего поля заключается в добавлении к функции
свободной энергии члена вида -am2, где a - положительная по-•стоянная.
Наличие этого члена обеспечивает уменьшение функции свободной
*) См. также гл. 15 книги [8], где изложен физически более обоснованный
метод решения той же проблемы. Настоящее формальное ее решение приведено
в качестве примера применения функции свободной энергии.
F И Z ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
253
энергии с увеличением спинового избытка 2т. Таким образом, при условии,
что, как и ранее, |m|< К, (40) принимает вид
