Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(см. рис. 9.5), а теплопроводность очень высока. Принято говорить, что
жидкий Не4
*) В других устройствах может наблюдаться эффективная вязкость: это имеет
место, например, в случае диска, совершающего крутильные колебания в
жидком Не4 II при любой конечной температуре ниже температуры
конденсации. При комбинации двух жидкостей с различными вязкостями в
некоторых экспериментах измеряется средняя вязкость, а в других средняя
текучесть, т. е. 1/rj..
Температура, К
232 гл !7- ФИЗИКА БОЗОНОВ. БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИЯ И ЖИДКИИ Не<
ниже температуры перехода является сверхтекучим. Точнее,, жидкий гелий
ниже температуры перехода называют жидким гелием II, и говорят, что он
представляет собой смесь нормальной жидкости и сверхтекучей компоненты.
Нормальная компонента состоит из атомов гелия, находящихся на
(термически) возбужденных орбиталях, а сверхтекучая компонента - из
атомов гелия, сконденсировавшихся на основную орбиталь.
О жидком Не4 выше температуры перехода говорят как
0 жидком Не I. В жидком Не I нет сверхтекучей компоненты, поскольку в
данном случае, как мы увидим ниже, заселенность основной орбитали
ничтожно мала и по порядку величины равна заселенности любой другой
низколежащей орбитали. Области давлений и температур, при которых
существуют жидкие гелий
1 и II, показаны на рис. 17.2.
Появление свойств сверхтекучести нельзя считать автоматическим следствием
бозе-конденсации атомов на основную орбиталь. Более точные расчеты
показывают, что необходимо существование межатомного взаимодействия
определенного вида (почти любого), чтобы атомы, сконденсировавшиеся на
основную орбиталь, обнаружили сверхтекучесть.
Химический потенциал вблизи абсолютного нуля
Ключом к пониманию бозе-конденсации является поведение химического
потенциала бозонной системы при низких температурах. Химический потенциал
ответствен за наблюдаемую стабилизацию большого числа частиц на основной
орбитали.
Рассмотрим систему, состоящую из большого числа N невзаимодействующих
бозонов. При абсолютном нуле все частицы системы занимают орбиталь с
наименьшей энергией, и система находится в состоянии с минимальной
энергией. Разумеется, нет ничего удивительного в том, что при т = 0 все
частицы должны находиться на орбитали с наименьшей энергией. Покажем
теперь, что заметная доля частиц остается на основной орбитали и при
конечной температуре.
Если выбрать энергию основной орбитали, равной нулю, то из функции
распределения Бозе - Эйнштейна
п(е, т) = рт Ц-рт-г (1)
' ехр [(е - ц)/т] - 1 v '
для заселенности основной орбитали с е = О получаем
Л(°' ~ ехр (-- ц/т) - 1 • <2>
При т = О заселенность основной орбитали равна полному числу частиц в
системе, так что
п(0, 0) = N = lim ;-г = lim \-------------------р. (3)
' t>o ехр (-й/т) - 1 1-ц/т-1 * г
ЗАСЕЛЕННОСТЬ ОСНОВНОЙ ОРБИТАЛИ И ТЕМПЕРАТУРА
233
Здесь мы использовали разложение в ряд е~х = 1 - х + ... Мы знаем, что
р/т должно быть мало по сравнению с единицей, так как в противном случае
полное число частиц N не может быть большим.
Из соотношения (3) находим, что при т -*¦ О
N- - т/р, р = - tJN. (4)
Для проверки этоео результата для р рассмотрим предел limn(0,
т)=яр(1/^)_1 +
что справедливо с высокой точностью при N 1. Используя (4), заметим
далее, что при т-> О
А, нг^ехр (р/т) 1 - 1JN. (5)
Отметим, что химический потенциал в бозонной системе всегда
должен быть меньше энергии орбитали в основном состоянии,
чтобы заселенность каждой орбитали была положительной.
Задача 17.1. Первая возбужденная орбиталь.
а. Вычислить в эргах разность энергий Де первой возбужденной орбитали и
основной орбитали для атома Не4 в кубе объемом 1 см3.
б. Сколько атомов находится на первой возбужденной орбитали при 7 = 1 К?
Можно использовать А,, определяемое (5), но надо учитывать, что теперь мы
вправе пренебречь 1 IN по сравнению с единицей и по сравнению с Де/т.
в. Сравнить результат (б) с интуитивным и неправильным ответом, который
получается при использовании фактора Больцмана для нахождения отношения
заселенности первой возбужденной орбитали к заселенности основной.
Зависимость заселенности основной орбитали от температуры
В гл. 14 мы показали, что число орбиталей на единичный энергетический
интервал для свободных частиц с нулевым спином равно
*<•>-?(?)'¦*• <6>
Полное число атомов Не4 на основной и возбужденных орбиталях определяется
суммой заселенностей всех орбиталей, т. е.
оо
Х = ?п/ = АГ0(т) + Ме(т) = Хо(т)+\ de 0 (е) п(е, т). (7)
/ о
Мы разбили сумму по / на две части. Здесь Nо(т) означает л (0, т)-число
атомов на основной орбитали при температуре т.
234 ГЛ. 17. ФИЗИКА БОЗОНОВ. БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИЯ И ЖИДКИИ Не*
Интеграл *) в (7) определяет число атомов А/е(т) на всех возбужденных
орбиталях, причем п(е, т)-функция распределения Бозе - Эйнштейна. Этот
интеграл дает лишь число атомов на возбужденных орбиталях и не учитывает
атомы на основной орбитали, так как при е = 0 функция 3)(е) равна нулю.
Для правильного определения числа атомов мы должны отдельно найти
