Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
результаты, полученные для фотонов, можно перенести на фононы. Эти
результаты оказываются простыми, если предположить, что скорости всех
упругих волн одинаковы, т. е. не зависят от частоты, направления
распространения и направления поляризации. Такое предположение не вполне
корректно, но оно полезно при рассмотрении общих свойств многих
*) Подробное обсуждение тепловых свойств упругих волн в твердом теле
приведено в гл. 4-6 книги [8].
ЧИСЛО ФОНОННЫХ ОРБИТАЛЕЙ
223
твердых тел. Предположением о равенстве скоростей всех волн мы
расплачиваемся за возможность существенно упростить вычисления.
Из экспериментальных данных следуют два чрезвычайно существенных
результата: теплоемкость неметаллических твердых тел при низких
температурах меняется как Р, а при высоких температурах она от
температуры не зависит и в расчете на каждый атом образца равна 3/щ.
Число фононных орбиталей
Число возможных электромагнитных мод в полости не ограничено, но число
упругих мод в твердом теле конечного размера имеет предел. Если твердое
тело состоит из N атомов, то полное число упругих мод равно 3N, так как
каждый атом имеет три степени свободы.
Электромагнитные волны всегда поперечны и могут иметь две различные
поляризации, тогда как в упругом теле, помимо поперечных волн двух
поляризаций, могут распространяться еще и продольные волны. В поперечной
упругой волне смещения атомов перпендикулярны к направлению
распространения волны; в продольной волне - параллельны к направлению
распространения. Таким образом, плотность фононных мод в 3/2 раза больше,
чем в случае электромагнитной волны. Число фононных орбита-лей,
приходящееся на единичный частотный интервал, находится из соотношения
(15.23) для фотонов с учетом поправочного множителя, т. е.
(2)
где vs - скорость упругой волны, соответствующим образом усредненная по
поляризациям, частотам и направлениям, а V- объем твердого тела.
Найденное для 2) (а) выражение применимо вплоть до некоторой максимальной
частоты, которую мы обозначим сод. Предположим, что фононные моды с более
высокими частотами не существуют:
3) (со > свд) = 0. (3)
Таким образом, предполагается, что фононный спектр обрезается при <Вд.
Эта частота называется дебаевской частотой*).
*) Соответствующая длина волны, при которой происходит обрезание,
определяется как Хд = о4/(0д. Используя (5) для (Од, имеем Хд = =
(V76n2N)'h, что по порядку величины равно постоянной решетки.
224
ГЛ. 16. ФОНОНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ. ТЕОРИЯ ДЕБАЯ
Значение год определяется из следующего требования: полное число мод
должно равняться числу степеней свободы 3N:
СОД
ZN=\da2D{a)=-^a%, (4)
о s
или
( bn2Nv\ у*
(r)Д = ^-у-) . (5)
Отношение V/N дает объем, приходящийся на один атом. С помощью (5) можно
записать плотность орбит (2) в виде
0 (со < юд) = 9N . (6)
СОд
Закон Т3 Дебая
Полная упругая энергия твердого тела при температуре т равна интегралу по
со от энергии моды с частотой ю, умноженной на число фононных мод в
единичном частотном интервале:
СОД СОД
U{x) = ( da 3) (со) (п) ha = \---da-(7)
J "До ехр (й"/т) ~ 1
где заселенность (п) дается функцией распределения Планка (1). Подставляя
х - Ьа/х, получаем
(8)
О
Здесь
Хд = йсод/т = 0/Г, (9)
где В - Ьая/кв - дебаевская температура. Соотношение (8) для энергии
представляет особый интерес при низких температурах Г < 0. В этом случае
верхний предел интегрирования значительно больше единицы, и хд
можно заменить на бесконечность. Из рис. 15.5 мы видим, что
выше х = 10 вклад в интеграл
становится малым. Для определенного интеграла имеем (см. гл. 15)
S'b'TZT-TT- ОО)
о
ЗАКОН Г" ДЕБАЯ
225
Ли
У Ыт
b Щи :?Ш31 • ШШш
Рис. 16.1. К качественному объяснению закона Т3 Дебая в терминах бегущих
волн (мод) вида ехр [;' (Кг - со/)].
Пусть все фононные моды с волновым вектором меньше К имеют классическую
тепловую энергию . и пусть моды с волновыми векторами, лежащими между К и
дебаевским волновым вектором Кд, отсутствуют. Из всех 3N возможных мод
возбуждена их доля, равная = поскольку это есть отношение объема
внутренней сферы к объему
внешней. Таким образом, для энергии имеем
теплоемкость равна
V-.
С
*БГЗЛГ (Г/0)3, " 12ЛГА_ (Г/0)3,
D
Рис. 16.2. Зависимость низкотемпературной теплоемкости твердого аргона от
Т\ прекрасно согласующаяся с законом Т3 Дебая.
Найденное значение 6 равно 92 К.
8 Ч, Ки гтель
226 гл- 16 ФОНОНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ. ТЕОРИЯ ДЕБАЯ
Таким образом, в низкотемпературном пределе энергия равна
U(x)&- -59зБ , (11)
т. е. она пропорциональна Г4.
При Г < 6 теплоемкость при постоянном объеме оавна
' (")
Этот результат известен как закон Г3 Дебая [84, 85]. Качественные
физические соображения, которые приводят к закону Г3, приведены на рис.
16.1. Случай высоких температур рассмотрен в задаче 16.1.
Экспериментальные данные для аргона приведены на рис. 16.2.
Экспериментальные данные о дебаевской температуре сведены в табл. 16.1.
Зависимость Су от Г/0, полученная путем вычислений, изображена графически
