Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киттель Ч. -> "Статистическая термодинамика" -> 79

Статистическая термодинамика - Киттель Ч.

Киттель Ч. Статистическая термодинамика — Москва, 1977. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayatermodinamika1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 121 >> Следующая

форму куба со стороной L, имеем
фп = Ег = С ехр (- Ш) sin (я^ях/Е) sin (п. nyjL) sin (/ггяг/Е), (18)
где С - константа. Последнее выражение удовлетворяет граничному условию,
согласно которому тангенциальная составляющая напряженности
электрического поля на стенках полости равна нулю. Таким образом, Ег
обращается в нуль на плоскостях х - = О, L и у = О, L. (Здесь нет
необходимости заниматься обсуждением сложного вопроса об электромагнитных
колебаниях в полости, поскольку это рассматривается в курсах
электродинамики.)
*) Спин фотона равен единице, ио по релятивистским соображениям для
частицы со спином единица, движущейся со скоростью света, имеется только
две независимые поляризации, а не три [77].
ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ ПЛАНКА
215
Подставляя (18) в (17), мы убеждаемся, что (18) служит решением волнового
уравнения, если
^ = тк nl + *l + n%- (19)
Поскольку п2 = n\ •+ п2 + ril, то последне выражение можно переписать в
виде
п - Lco/яс. (20)
Таким образом,
4^= - . (21)
аса пс v '
Подставляя последние два соотношения в (16), получаем следующее выражение
для плотности фотонных мод:
2) (со) = л (L/nc)3 со2. (22)
Так как V - L3, то для числа фотонных мод на единичный ча-
стотный интепзал имеем
(23)
Этот результат справедлив для вакуума; для среды с дисперсией его нужно
видоизменить (см. [78]).
Закон излучения Планка
Тепловая энергия одной моды электромагнитного поля равна (п(со))йсо.
Тепловая энергия всех мод с частотами, лежащими в единичном интервале,
есть энергия одной моды, умноженная на число мод в данном интервале, т.
е. на 2) (а). Обозначая тепловую энергию, приходящуюся на единичный
частотный интервал, через и (а), получим
и (со) = (п) Йсо • 2) (со)
я2с3 ехр (Йш/т) - 1
(24)
где для (п) мы использовали выражение (6), а для 2){со)-соотношение (23).
Это является знаменитым законом излучения Планка для распределения
теплового излучения по частотам. Зависимость и(со) от со изображена на
рис. 15.5.
Полную электромагнитную энергию в полости нетрудно найти, интегрируя и(и)
по всем частотам; поэтому после подстановки х = ico/т получаем
ОО оо
U(т) = J dcou(co) = 1^r\ dx-p^(25) о о
216
ГЛ. 15. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛАНКА ДЛЯ ФОТОНОВ
Здесь интеграл *) в правой стороне безразмерен и равен Visji4. Полная
энергия растет с температурой как Г4:
-2"ь4
U (т) =
n2Vr4
15 Л3с3
(nVkiAr
~ \\ЪП3с3 J1 '
(26)
Пропорциональность плотности энергии излучения Г4 известна как закон
излучения Стефана - Больцмана, и впервые этот результат был получен на
основе термодинамических соображений (см. задачу 15.4).
Рассмотрим поток энергии излучения через маленькое отверстие в стенке
полости. Поток энергии через отверстие единичной
площади из полости с температурой т равен по порядку величины плотности
энергии U/V, умноженной на скорость света, т. е.
cU( x)jV.
(27)
ftca/t
Рис. 15.5. График функции х3/(ех-1), где х^Йсо/т.
Эта функция входит в закон излучения Пл анка. Температуру абсолютно
черного тела можно найти из частоты <°макс, ПРН которой плотность энергии
иа единичный частотный интервал максимальна. Частота сомакс прямо
пропорциональна температуре.
Точный результат меньше, чем (27), на множитель, учитывающий различие в
направлениях движения фотонов в полости и равный '/4 ("геометрический"
множитель). Если обозначить поток энергии излучения через /и, то
^4
:
cU ( n2ki \ " ==1ТГ= V Ш3с3 )Т ' (28)
Это соотношение известно как закон Стефана для потока лучистой энергии.
Коэффициент при Г4 называется постоянной Стефана - Больцмана; она равна
5,67-10-5 эрг-см-2-с-1-К-4. Тело, испускающее такой поток, называется
черным телом.
dx
*) Имеем
уЗ
ехр (х) - 1
dx х3 ехр (- х)
1
1 - ехр (- х)
Г
= \ dx х3 ^ ехр (- рх)
о 1
чр = 1 ' о
dy у3 ехр (-у). (26а)
Этот простой интеграл равен 6. Сумма быстро сходится к величине 1,0823;
точное значение равно л4/90.
ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ ПЛАНКА
217
Задача 15.1. Поток энергии излучения. Вычислить "геометрический"
множитель, входящий в результат (28).
Задача 15.2. Поверхностная температура Солнца. Значение полного потока
энергии излучения от Солнца, приходящегося на Землю, называется солнечной
постоянной для Земли. Наблюдаемая ее величина, проинтегрированная по всем
длинам волн и отнесенная к одной астрономической единице (определяемой
как среднее расстояние между Солнцем и Землей), равна
Солнечная постоянная = 0,136 Дж • с-1 ¦ см-2. (29)
а. Показать, что полный поток энергии, излучаемой Солнцем, равен 4-1026
Дж-с-1.
б. Используя этот результат, а также закон Стефана Ju - 5.67Х ХЮ-12 Т4
Дж¦ с-1 • см-2, показать, что эффективная температура поверхности Солнца,
рассматриваемого как черное тело, равна Т & 6000 К. Считать, что
расстояние от Земли до Солнца 1,5-1013 см, а радиус Солнца 7-1010 см.
Задача 15.3. Давление излучения. Показать, что для фотонного газа
справедливы следующие соотношения:
(dU \ da>.
= ~ ~ Ь ntA ~dV~'
(30)
где "г - число фотонов, принадлежащих l-й моде.
da, о),
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed