Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
нулевая энергия.
Если осциллятор возбужден так, что зани- ~ мает орбиталь с энергией пги
то такая система
во всех отношениях эквивалентна реальной си------------------------------
---
стеме из п фотонов, находящихся в состоянии I. Изменение орбитали,
занятой осциллятором, эквивалентно изменению числа фотонов в реальной
системе. Но осцилляторная система состоит из одного и только одного
осциллятора, и он сохраняется. Системе не разрешен обмен осцилляторами с
резервуаром, а разрешен лишь обмен энергией. В силу такого сохранения
химический потенциал не появляется в задаче. Здесь используется фактор
Больцмана, полученный в гл. 6 из фактора Гиббса, т. е. число частиц
считается постоянным. Поэтому вычисление проводится со статистической
суммой, а не с большой суммой.
Для системы, состоящей из одного оцилля-тора, статистическая сумма равна
•п~э
¦ /7=4
т
Зс
¦ л=3
т~
2е
¦ п=2
т
• /7= /
¦п=0
Z = X ехР (- tie/т),
(3)
где п - число фотонов с энергией е. Для теплового среднего значения
заселенности имеем п ехр (- пе/х) пхп
<">
(4)
Рис. 15.1. Орбитали, соответствующие осциллятору, представляю щему моду с
частотой со электромагнитного поля. Осциллятор, находящийся на орбитали с
энергией nz = nh(a, эквивалентен п фотонам для данной моды.
?ехр(- пе/х) ?xn где х = ехр (-е/т). Соотношение (4) можно записать в
виде
<л> = *^Г|пЕ*П = "*^Г1п(1 -*) =
х ехр (-е/т)
1
1 -х
1
(5)
1 - ехр (-е/т) ехр (е/т) ¦
что совпадает с выражением (2).
Тепловое среднее значение числа фотонов для моды с частотой со равно
<л) =
1
ехр (Йсо/т) - 1
(6)
210
ГЛ. 15. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛАНКА ДЛЯ ФОТОНОВ
где йи = е. Это выражение называется функцией распределения Планка.
График ее зависимости от температуры представлен на рис. 15.2.
Распределение Бозе - Эйнштейна сводится к распределению Планка, если
положить химический потенциал равным нулю. В табл. 15.1 приведены
значения функций, встречающихся при использовании распределения Планка.
Особый интерес представляет асимптотическая форма распределения Планка
при высоких температурах т йш. Положим у = /гм/т; тогда для у <С 1 имеем
<">==¦ '
0,5
О
л(< / S ' "+i// / / / / / / X / г / S / л / / /п(а>) -
/ / / / / S / / / J / ? / ? /
1 + у + Ъч1
- 1
1
У 1 + хкУ
¦а-Ш (6а)
или
0,5
t/fia
1,0
Рис. 15.2. Зависимость функции распределения Планка от приведенной
температуры т/йсо. Здесь (п (со))-тепловое среднее числа фотонов для моды
с частотой со. Представлена также кривая <п (со" + 1/г> где V* -
эффективная нулевая заселенность данной моды. Пунктир изображает функцию
распределения Планка в классическом пределе.
(п) т т/йм - '/г- (66)
Добавляя к обеим сторонам эф-№ фективную нулевую заселенность, равную Vг,
получаем
(п) + '/г ~ т/йсо. (6 в)
Величина т/йсо часто рассматривается как результат, соответствующий
классическому пределу при возбуждении осциллятора. Из соотношения (6в)
следует, что учет нулевой заселенности улуч-
шает асимптотическое поведение функции распределения (6), так как
возможные точные значения энергий квантового гармонического осциллятора
равны (н + '/г/йы, где п - любое целое число, а ш - классическая частота
оциллятора.
Пример. Энтропия гармонического осциллятора. Тепловое среднее значение
энергии гармонического осциллятора было рассмотрено в гл. 6. На нашем
теперешнем языке величина, определенная соотношением (6.72), равна
произведению заселенности (л (в)) на энергию в в случае заселенности,
равной единице: /7 = в(л(в)), где в = Йсо. Заселенность
(л(в)) выражается через распределение Планка, так что, как и в (6.72),
U =
ехр (в/т) - I
(7>
В приближении т в мы получаем классический результат U " т, в котором 7гт
обусловливается кинетической энергией и х/гт-потенциальной. Такое точное
разделение энергии гармонического осциллятора служит примером равного
распределения энергии. Оно не осуществляется в случае ангармонического
осциллятора.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОНОВ
211
Таблиц а 15.1
Значения функций, встречающихся при использовании распределения Планка
X х2ех X In (1 - е х)
(ех-\)2 ех-1 ш\1 е / ех- 1
0,00 1,00000 1,00000 - СО CD
0,05 0,99979 0,97521 -3,02063 3.99584
0,10 0,99917 0,95083 -2,35217 3,30300
0,15 0,99813 0,92687 - 1,97118 2,89806
0,20 0,99667 0,90333 - 1,70777 2,61110
0,25 0,99481 0,88020 - 1,50869 2,38S88
0,30 0,99253 0,85749 - 1,35023 2,20771
0,35 0,98985 0,83519 - 1,21972 2,05491
0,40 0,98677 0,81330 - 1,10963 1,92293
0,45 0,98329 0,79128 - 1,01508 1,80690
0,50 0,97942 0,77075 -0,93275 1,70350
0,55 0,97517 0,75008 -0,86026 1,61035
0,60 0,97053 0,72982 -0,79587 1,52569
0,65 0,96552 0,70996 -0,73824 1,44820
0,70 0,96015 0,69050 -0,68634 1,37684
0,75 0,95441 0,67144 -0,63935 1,31079
0,80 0,94833 0,65277 -0,59662 1,24939
0,85 0,94191 0,63450 -0,55759 1,19209
0,90 0,93515 0,61661 -0,52184 1,13844
0,95 0,92807 0,59910 -0,48897 1,08809
1,00 0,92067 0,58198 -0,45868 1,040, 5
1,05 0,91298 0,56523 -0,43069 0,99592
1,10 0,90499 0,54886 -0,40477 0,95363
