Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
можно записать в форме
= - [/ In / + (1 - /) In (1 - /)], (55)
где f - функция распределения Ферми - Дирака. Сравнить этот результат с
соотношением (15.12) для бозонов.
Глава 15
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛАНКА ДЛЯ ФОТОНОВ
"Это выражение... простое: S = {(U/v), где v - частота осциллятора. Я
выведу его в другой раз".
М. Планк [2, 74], 19 октября 1900
"[Рассмотрим] распределение энергии U между N осцилляторами с частотой V.
Если считать, что U можно делить беспредельно, то возможно бесконечное
число распределений. Мы полагаем, однако, - и это существенный момент
всех наших вычислений, - что U состоит из
вполне определенного числа конечных равных частей. Мы используем мировую
константу *) h - 6,55 • 10~27 эрг-с. Эта константа, умноженная на обычную
частоту осциллятора V, дает элемент энергии е в эргах..."
М. Планк**), 14 декабря 1900
Бозонная функция распределения для нахождения заселенности орбитали с
энергией е ^
^ ехр ](е - ц)/т] - 1
была использована Планком в работе, где впервые было введено
понятие кванта энергии. Планка интересовала проблема
теплового излучения, а именно, распределение электромагнитной энергии по
частотам при тепловом равновесии со стенками полости, содержащей это
излучение.
В согласии с экспериментом он нашел, что
^ = ехр (йш/т) - 1 ' ^
где (п) - число фотонов, приходящихся на собственные колебания, или моды
***) полости, частота которых равна со. Здесь
*) Принятое в настоящее время значение h равно 6,626¦ 10-27 эрг-с.
Прекрасный исторический обзор работ Планка по квантам содержится в
работах [75, 76].
**) Планк говорил впоследствии, что это предположение было актом
отчаяния.
***) Введенный здесь английский термин "mode" можно перевести (в
зависимости от контекста) как собственное, или нормальное, колебание,
тип, или ветвь колебаний (волн) и т. п. В последнее время, однако, все
чаще слово "mode" вообще не переводится, и просто применяют русское его
написание (мода, моды). Мы здесь также следуем по этому пути. (Прим.
перев.)
208
ГЛ. 15. ФУНКЦИЯ распределения планка для фотонов
Ьсо - энергия собственного колебания или орбитали, занятой единственным
световым квантом или фотоном. Термин фотон обозначает квант энергии
электромагнитного поля.
Результат (2) следует из выражения (1), если химический потенциал
положить равным нулю. Мы получим соотношение (2) из основных принципов,
но уже сейчас можно отметить, что причина различия между результатами
Планка и Бозе - Эйнштейна заключается в несохранении числа фотонов в
системе, тогда как при первоначальном выводе (1) в явном виде полагали
число частиц сохраняющимся. Число фотонов в полости, стенки которой имеют
высокую температуру, намного больше, чем в случае их низкой температуры.
Полное число фотонов в системе и резервуаре не сохраняется. Поэтому
теперь не следует обращаться к изменению энтропии (da/dN)8N, при помощи
которого мы первоначально вводили химический потенциал. Сейчас нужно
выяснить, как избежать этого шага при рассмотрении системы фотонов.
Распределение фотонов
Нам необходимо слегка изменить вывод функции распределения Бозе -
Эйнштейна, приведенный в гл. 9. Там мы рассматривали орбиталь с энергией
е, которая могла быть занята 0, 1, 2, . . . , п, ... частицами. Здесь же
мы имеем дело с системой из одной частицы, обладающей свойствами
гармонического осциллятора*). Согласно квантовой теории такой осциллятор
имеет орбитали с энергией Ое, 1 е, 2е, .. . , пе, . . . (рис. 15.1).
Осциллятор рассматривается как система, находящаяся в тепловом контакте с
резервуаром, но сам осциллятор не может диффундировать в него. Осциллятор
эквивалентен моде электромагнитного поля в полости.
В квантовой механике показывается, что энергия основного состояния
осциллятора больше энергии покоя классического осциллятора на величину
Чг^со. (Квантовый осциллятор в основном состоянии не находится в покое.)
Энергия п-й орбитали квантового гармонического осциллятора равна где
*/2е - это нулевая энергия осциллятора. Движение квантового
гармонического осциллятора при нулевой энергии (квантовое нулевое
движение) приводит к определенным физическим последствиям: например,
лэмбовский сдвиг энергетических уровней водородного атома обусловлен
нулевыми колебаниями электромагнитного поля. Неупругое рассеяние
рентгеновских лучей
*) Планк ввел понятие гармонического осциллятора с частотой со для
представления собственного колебания, или моды, электромагнитного поля с
частотой со в полости. Осциллятор следует ассоциировать с
электромагнитным полем, а не со стенками полости. Рассматриваемое нами е
равно ftco.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОНОВ
209
кристаллом при абсолютном нуле вызывается нулевыми колебаниями атомов.
Однако в данной главе и в гл. 16 мы не будем рассматривать нулевую
энергию. Это упростит вид уравнений, но не изменит вытекающих из них
термодинамических следствий, так как энтропия системы гармонических
осцилляторов при данной температуре не зависит от того, учитывается ли
