Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
и белых карликов порядка 107 К. Такая температура необходима для
поддержания скорости термоядерной реакции на уровне, соответствующем
интенсивности испускания лучистой энергии с поверхности звезды. Таким
образом, в белом карлике Г < Тф. Несмотря на высокую температуру
электронов, электронный газ внутри белого карлика сильно вырожден;
тепловая энергия значительно меньше энергии Ферми.
Лежат ли энергии электронов в релятивистской области?' Этот вопрос
интересует нас потому, что в теории газа Ферми мы использовали
нерелятивистское выражение для кинетической энергии электронов р212т.
Энергия, эквивалентная массе покоя электрона, равна
еа = тс2 да (l • 1СГ27 г) (3 • Ю10 см • с-1)2 " 1 • Ю~6 эрг. (45>
Приведенная величина того же порядка, что и наша оценка энергии Ферми для
электронов в белом карлике (см. (44)). Таким образом, релятивистские
эффекты существенны, но не преобладают. Однако при значениях плотности,
превышающих принятые в наших оценках, необходимо уже считать ферми-газ
релятивистским [70].
Образуют ли ядра в белом карлике также вырожденный ферми-газ? Энергия
Ферми обратно пропорциональна массе частицы. Энергию Ферми нуклона (т. е.
протона или нейтрона) можно-определить из энергии Ферми электронов при
той же их концентрации, если умножить последнюю на отношение масс т/М = =
1/1840. В условиях, рассмотренных выше, энергия Ферми нуклона примерно
равна 0,25-10~9 эрг, что несколько меньше-тепловой энергии &бТ при 1 -107
К, равной 1,4-10~9 эрг. Таким образом, нуклонный газ может и не быть
вырожденным, хотя будет близким к вырождению. Сейчас известны такие типы
белых карликов, для которых предполагают распределение ядер,,
соответствующее вырождению.
Задача 14.7. Соотношение между массой и радиусом белых карликов.
Рассмотреть белый карлик с массой М и радиусом R. Пусть электронный гад
вырожден, но не является релятивистским, а протонный невырожден.
а. Показать, что собственная гравитационная энергия равна по порядку
величины
- GMVR. (46)
где G - гравитационная постоянная. (Если плотность по массе постоянна
внутри сферы радиуса R, то для точной величины потенциальной энергии
имеем - 3GM2/5R.)
*) Поверхностная температура звезд значительно меньше из-за охлаждения
посредством излучения с поверхности. Поверхностная температура Солнца
равна примерно 6000 К.
ЯДЕРНАЯ МАТЕРИЯ
205
б. Показать, что кинетическая энергия электронов равна по порядку
величины
h2N4i п2м*'•
mR2 ~ тМ№ ' (47)
где т - масса электрона и Мн- масса протона.
в. Показать, что если гравитационная и кинетическая энергия одного
порядка (как требует теорема вириала механики, см. Приложение IV), то
M4tR " Ю20 г'/з-см. (48)
г. Какова плотность белого карлика, если его масса равна массе Солнца 2-
Ю33 г?
д. Предполагается, что пульсары - это звезды, состоящие из холодного
вырожденного газа нейтронов. Показать, что для нейтронной звезды
M'l3R " 1017 r'/s-CM. (48а)
Каков радиус нейтронной звезды с массой, равной массе Солнца? Результат
выразить в километрах.
Ядерная материя
Ядерной материей называется такое состояние материи, которое существует
внутри ядер. Нейтроны и протоны, из которых состоят ядра ядерной материи,
можно, по крайней мере качественно, рассматривать как вырожденный
фермионный газ. Оценим энергию Ферми газа нуклонов в ядерной материи [72,
73]. Радиус ядра, состоящего из А нуклонов, где
A = Z протонов + (Я - Z) нейтронов,
определяется эмпирическим соотношением *)
/г "(1,3- 1(Г13 см)- А\ (49)
В соответствии с последним соотношением средний объем на частицу
постоянен, так как объем изменяется как R3, т. е. пропорционален А. Для
концентрации нуклонов в ядерной материи имеем
0,11 • 1039 см-3, (50)
N л " , , , "зо з
- * -.flit 11,14 -•! -О
V 4/3я (1,3 • 10-13 см)3 А
что примерно в 108 раз больше концентрации нуклонов в белом карлике.
Нейтроны и протоны не являются одинаковыми частицами, и их энергии Ферми
тоже различны. В известное нам соотношение
/г2 ( Зя2уУ V/" ,К1Ч
входит концентрация либо тех, либо других.
*) Это соотношение основано на различных экспериментах по рассеянию
частиц на ядрах, а также на теоретических соображениях относительно
энергии связи ядер.
206 гл ,4- ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
Предположим для простоты, что число протонов равно числу нейтронов. При Z
" 4/г^ концентрация нуклонов равна
(N/V)nрот " (Аг/1/)иейтР " 0,05 • 1039 см-3, (52)
что получается из (50) делением на 2. Для энергии Ферми нуклонов получаем
еф"(3,17- 10-3°)(JV/lO,/,"0,43- КГ4 эрг " 27 Мэв. (53)
Средняя кинетическая энергия частицы в вырожденном ферми-газе равна 3/5
от энергии Ферми нуклона, так что в ядерной материи средняя кинетическая
энергия равна 16 МэВ на нуклон.
Задача 14.8. Энтропия фермионов. Согласно (19.30) при постоянны* ц н V
справедливо следующее общее соотношение:
a =~ (Tin Z). (54)
Рассмотреть орбиталь, которая может быть занята либо 0, либо 1 частицей с
энергией 0 или е соответственно. Показать, что в данном случае энтропию
