Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Сплошная •прямая, проведенная через экспериментальные точки для раствора,
соответствует Тфв "0,331 К и согласуется с расчетами для свободных
атомов, если их эффективную массу считать в 2,38 раз больше массы атома
Не3.
Сравним их с вычисленными значениями для ферми-газа свободных электронов
(см. (32)):
n2Nkl 5,668-lO-8 Yo = -о;- =--------; ЭРГ • моль • К ,
(39)
bfh
202
ГЛ. 14. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
где энергия Ферми еФ выражена в эргах. Или
Ф
(40)'
где еФ выражена в электронвольтах, как в табл. 14.2. Полезно помнить, что
1 мДж - 1 • 104 эрг. Хорошее совпадение у с уо, показанное в табл. 14.3,
характерно для одновалентных металлов. Различие между ними связано с
электрон-электронным и электрон-решеточным взаимодействиями; их
вычисление требует более сложной техники.
Задача 14.6. Жидкий Не3 как ферми-газ. Атом Не3 имеет спин I = Уг к
является фермионом.
а. Рассматривая жидкий Не3 как газ невзаимодействующих фермионов,.
вычислить параметры ферми-газа пф, еф и Тф (см. табл. 14.2). Плотность
жидкого гелия равна 0,081 г-см-3.
б. Вычислить теплоемкость Не3 при низких температурах 7 < 7Ф и сравнить
ее с экспериментальным значением Cv-2,89NkBT, полученным при Т <С 0,1 К в
работе [65] (см. также рис. 14.13). Прекрасный обзор свойств жидкого Не3
см. в [66, 67]. Принципы холодильных установок, использующих смесь Не3-
Не4, изложены в работе [68]. Такие установки позволяют при непрерывной
работе получать устойчивые температуры вплоть до 0,01 К.
Звезды, получившие название белых карликов *), имеют массы, сравнимые с
массой Солнца. Масса и радиус Солнца равны соответственно
Радиусы белых карликов очень малы, вероятно, в 100 раз меньше радиуса
Солнца. Плотность Солнца, которое относится к нормальным звездам, порядка
1 г-ем-3. Плотности белых карликов значительно выше и составляют 104-107
г-см-3. В каком состоянии находится вещество при таких больших
плотностях? Полагают, что при плотностях, характерных для белых карликов,
атомы полностью ионизованы на ядра и свободные электроны, и электронный
газ вырожден.
Первым обнаруженным звездным объектом такого типа был. спутник Сириуса. В
1844 г. Бессель заметил, что траектория Сириуса слегка колеблется
относительно прямой, что наблюдалось бы при наличии у него невидимого
спутника (рис. 14.14).. Этот спутник, Сириус В, был открыт вблизи
предсказанного положения Кларком в 1862 г. Из измерений его орбиты было
найдено, что масса Сириуса В равна 1,96-1033 г. Сравнение поверх-
Белые карлики
Mq = 1,99 • 1033 г. Rq = 7,0 • 10ю см.
(41)
*) Предварительные данные о свойствах белых карликов см. в [69, 70]_
Примерно 3% звезд в окрестности Солнца являются белыми карликами.
БЕЛЫЕ КАРЛИКИ
203
яостной температуры с излучаемым потоком энергии и использование свойств
теплового излучения (см. гл. 15) дало для его радиуса 1,9-109 см.
Из указанных значений мас--сы и радиуса Сириуса В находим для средней
плотности _ М 1,96- Ю33 г
Р - 7 - 4/3л (1,9 ¦ Ю9 см)3 ~
" 0,69 • 105 г • см-3. (42)
Таким образом, вещество, из которого состоит белый карлик, должно быть
очень плотно упаковано. По поводу такой исключительно высокой плотности
Эддингтон сказал в 1926 г.: "Оставляя в стороне неправдоподобный характер
полученного результата, нет никаких причин относиться к вычислениям
подозрительно". У других белых карликов плотности еще выше: один из них
под названием Ван Маанен № 2 имеет среднюю плотность 6,8-106 г-см-3. Как
мы отмечали средняя плотность Солнца всего лишь порядка 1 г-см_3.
Водородные атомы при плотности порядка 10е г-см-3 имеют объем в расчете
на атом, равный •*
(10е моль • см-3) (6 • I0-3 атом • моль-1) ~ ^ ^ СМ, (43)
или 2• 10-6 А3 на атом. Таким образом, среднее расстояние между
ближайшими соседями порядка 0,01 А, тогда как расстояние между ядрами в
молекуле водорода равно 0,74 А.
При столь высокой плотности атомные электроны уже не связаны с
определенным ядром и образуют электронный газ, что впервые предположил в
1924 г. Эддингтон [71]. Вещество в белых карликах удерживается вместе
гравитационным притяжением, которое является связующей силой во всех
звездах.
Условия в белых карликах таковы, что внутри них электронный газ вырожден
и его температура много меньше энергии ¦Ферми е ф. Энергия Ферми для
электронного газа при концентрации Ь 1030 электрон/см3 равна
Л2 ( Зя2 У \V* r\ г 1 г"-6 о 1Г"5 n
8ф ~ ~2m v-V-J эрг"3-10 эВ, (44)
Рис. 14.14. Наблюдаемая орбита Сириуса.
а - жирная линия показывает синусо-идальное движение основной звезды;
тонкая представляет синусоидальное движение спутника - белого карлика;
пунктир показывает движение центра масс системы, б - кривые изображают
видимые орбиты обеих звезд вокруг ид общего центра масс, в - видимая
орбита белого карлика вокруг основной звезды.
204
ГЛ. 14. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАК.
что примерно в 105 раз больше, чем в типичных металлах. Тем* пература
Ферми Тф = еф/Аб " 3-109 К. Предполагают, что температура внутри *) звезд
