Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Указание. Кривые 35i(e) и Э53(ъ) различны, причем 35\ дается формулой
(17), а З53- формулой (11). Полезно записать интеграл для числа частиц N
и рассмотреть поведение подынтегрального выражения при двух совершенно-
различных температурах.
Ферми-газ в металлах
Хорошо установлено, что щелочные металлы, а также медь, серебро и золото
имеют по одному свободному электрону, или электрону проводимости, на
атом. В эгих элементах на каждый атом приходится по одному валентному
электрону, которые в металле становятся электронами проводимости. Таким
образом, концентрация электронов проводимости равна концентрации1
атомов, которую можно определить либо из плотности и атом-
ного веса, либо из параметров кристаллической решетки.
Если электроны проводимости в металле ведут себя как газ свободных
фермионов, то значение энергии Ферми можно вычислить из соотношения
ft2 ( Зя2дг у/. . .
Вф==^{-Г-) • <35>
Значения N/V и вф приведены в табл. 14.2 и на рис. 14.11.
В таблице указаны также скорости электронов на поверхности
ФЕРМИ-ГАЗ В МЕТАЛЛАХ
199
Таблица 14.2
Параметры, характеризующие ферми-газ свободных электронов для некоторых
металлов
Металл Электронная концентрация JV/V, Ш22 см-3 Скорость Оф, 10ь см.с-
1 Энергия Ферми еф, эВ Температура Ферми 1 ф=^ф/^Б> *°4 К
Li 4,6 1,3 4,7 5,5
Na 2,5 1,1 3,1 3,7
К 1,34 0,85 2,1 2,4
Rb 1,08 0,79 1,8 2,1
Cs 0,86 0,73 1,5 1,8
Си 8,50 1,56 7,0 8,2
Ag 5,76 1,38 5,5 6,4
Аи 5,90 1,39 5,5 6,4
<о ,0*
!Очд 10г'
Ферми, определяемые из условия, что кинетическая энергия электрона на
этой поверхности равна еф: fQ-"
112ть\=&ф, (36)
тде т-масса электрона.
Значения температуры Ферми Тф = еф 1кв "о для обычных металлов *) ^
порядка 5 -104 К, и поэтому допущение Т Тф, использованное при выводе
(30), обеспечивает ¦очень хорошее приближение при комнатной температуре и
ниже нее.
Теплоемкость многих металлов при постоянном объеме можно записать в виде
суммы электронного вклада и вклада, обусловленного колебаниями решетки.
При низких температурах эта сумма запишется следующим -образом:
Cv = yT + AT\ (37) где у и А - характерные для каждого металла константы.
Здесь
*) Аналог металла со сколь угодно низким значением 7"ф можно получить
контролируемым добавлением соответствующих примесей к полупроводниковому
кристаллу.
/Х\ т Ач Ад
Rb^ 'Пй
Оо
to-
гг
Концентрация елентронов, см
-з
10%
Рис. 14.11. Зависимость энергии Ферми еф для газа свободных электронов от
концентрации.
Представлены значения для нескольких одновалентных металлов. Прямая
прове'дена для еф =
- 5,835- Ш-27 '(JV/V)2/3 эрг, где отношение N/V ука-
- з
зывается в см
200 п. II. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
¦у = ll2n2Nkb/TФ (см. (32)), а член АТ3, связанный с колеба-ниями
решетки, обсуждается в гл. 16. Электронный вклад линеен по Г и
преобладает при достаточно низких температурах.
Удобно представить экспериментальные результаты для теплоемкости данного
материала в виде графической зависимости Cv/T от Т2:
CvIT = V + АТ\ (38)
поскольку в этом случае точки должны располагаться на прямой линии.
Пересечение графика с осью абсцисс при Т = 0 дает
ч*. -
2,0
О О,! 0,2 0,3
Тг, Мг
Рис. 14.12. Экспериментальные значения теплоемкости для калия,
представленные в виде зависимости С/Т от Т2 [64].
значение у. Такой график для калия показан на рис. 14.12, наблюдаемые
значения у приведены в табл. 14.3 и 14.4.
Таблица 14.&
Электронная теплоемкость одновалентных металлов О
J Металл сч 1 ? 7 А 4 О 5 к cf S 7 ? 7 л 4 О 5 к сг S о О
Металл сч 1 ? 7 J3 4 о 5 к < S 7 ? 7 J3 4 о 2 к сг 5 о Р-
?
Li 1,63 0,75 2,17 Cs 3,20 2,36 1,35
Na 1,38 1,14 1,21 Си 0,695 0,50 1,39
К 2,08 1,69 1,23 Ag 0,646 0,65 1,00
Rb 2,41 1,97 1,22 Аи 0,729 0,65 1,13
г) Во втором столбце приведены экспериментально найденные значения у. в
третьем- значения у", вычисленные для газа свободных электронов.
ФЕРМИ ГАЗ В МЕТАЛЛАХ
201
Таблица 14.4
Li 1,63 Be 0,17
В С N
Na 1,38 Mg 1,3
Al 1,35 Si P
К Ca Sc Ti V Cr Шу Fe Co Ni Cu Zn Ga
Ge As
2,08 2,9 10,7 3,35 9,26 1,40 9,20 4,98 4,73 7,02 0,635 0,64 0,596
0,19
Rb Sr Y Zr Mb Mo' Tc Ru Rh Pd Ag Cd In
Sn Sb
2,41 3,6 10,2 2,80 7,79 2.0 - 3,3 4,9 9,42 0,646 0,688 1,69
1,78 0,11
Cs Ba La Hf- Ta W Re' 0s Ir Pt Au Hq Tl
Pb Bi
3,20 2,7 10 2,16 5,9 1,3 2,3 2,4 3,1 6,8 0,729 1,79 1,47
2,98 0,008
3 5 10 20 50 100 ООО
Температура, 10 ~3 'К
Рис. 14.13. Теплоемкость жидкого Не3 и 5%-ного раствора Не3 в Не4.
По оси ординат отложено отношение С/71, по оси абсцисс - температура Т.
Таким образом, для ферми-газа в области теплового вырождения
теоретическая кривая для С/Т при постоянном объеме горизонтальна. Кривая
для чистого Не3 построена для случая постоянного давления, что приводит к
небольшому наклону. Кривая для раствора Не3 в Не4 указывает на то, что
Не3 в растворе ведет себя как ферми-газ; область вырождения при низ-жой
температуре становится при более высоких температурах невырожденной.
