Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
того, что электрон удален с орбитали с энергией е. На рис. 14.7 приведен
график функции Д(У, построенный с помощью численных данных Приложения
III.
ЭНЕРГИЯ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
195
На рис. 14.8 изображена зависимость функции распределения Ферми - Дирака
от е для шести значений температуры. Концентрация ферми-газа электронов
выбрана такой, чтобы гф/ks - - 50 000 К (последнее значение характерно
для электронов проводимости в металле). Значения химического потенциала р
и
Рис. 14.8. Функции распределения Ферми - Дирака для различных температур
при Тф = еф/?Б = 50 000 К.
Полученные результаты применимы к газу в трехмерном случае. Полное число
частиц постоянно и не зависит от температуры.
абсолютной активности к в зависимости от температуры приведены в табл.
14.1.
Таблица 14.1
Значения химического потенциала и абсолютной активности ферми-газа при
нескольких температурах !)
Температура Т, К Химический потенциал ц/fcg, К Абсолютная активность
А -ехр (М-/*В7')
0 50 00С ОО
500 50 000 е1°о
5 000 49 700 21 000
10 000 48 200 124
25 000 36 200 4,3
50 000 -ЮО2) 0,98
100 000 -128 000 0,28
¦) Концентрации ферми-газа электронов выбраны так, что е<|>/^б* -50 000
К.
*) При температуре, соответствующей k^T -Ъф, химический потенциал близок
к нулю, но точно нулю не равен.
7*
196
ГЛ. 14. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
Теплоемкость электронного газа находят путем дифференцирования энергии U
или AU по Т. В соотношении (23) от температуры зависит только /(е), и
поэтому после перегруппировки членов можно написать
оо
сэ = = 5 de (8 - ej-g 3>(в). (24)
о
В металлах для интересующих нас температур &b77s(r)<; 0,01, и из рис. 14.8
мы видим, что производная dfldT велика только для энергий, близких к е(r).
Поэтому с хорошей точностью можно
г
О ~2 Ч -6 ~8
0 12 3 4
t
Рис. 14.9. Зависимость химического потенциала ц от температуры т для газа
невзаимодействующих фермионов в трехмерном случае.
Для удобства построения графика концентрация частиц была выбрана такой,
что в относительных единицах ц, (0) = Вф = (3/2)2^з.
взять плотность орбиталей 2){е) при е(r) и вынести ее за знак интеграла;
тогда получим
оо
С3 я" 2?) (еф) ^ de (е - e(r)) -jf . (25)
о
Из рассмотрения данных табл. 14.1 и графиков, изображенных на рис. 14.8 и
14.9, следует, что при т -С е(r) можно заменить химический потенциал р в
функции распределения Ферми - Дирака на постоянную энергию Ферми е(r).
Тогда
df _ е-еф ехр [(е - еф)/кБТ]
dT - кБТ* ' [ехр[(е-еф)/*вГ]+1]* • W
Если положить
х = (е - 8ф)/ЙбГ,
(27)
ЭНЕРГИЯ и ТЕПЛОЕМКОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
197
то из (25) и (26) следует, что
С = к*ТЗ>
9 D
(еф) 5 dxx2 (ех + \у
(28)
-еф/йБГ
Нижний предел можно без опасений заменить на -оо, так как множитель ех в
подынтегральном выражении уже становится пренебрежимо малым при х - -
Еф/квТ (если нас интересуют низкие температуры, когда еф/йбТ " 100 или
более). При этом для интеграла *) в (28) находим
dx х1
-
(ех + 1 )2
- ОО
и тогда для теплоемкости электронного газа получаем
С9=7з^(еф)^БГ.
(29)
(30)
В задаче 14.2 мы нашли, что при квГФ = еф плотность орбиталей при энергии
Ферми равна для газа свободных электронов
^(еФ)=-^ = 1^-. (31)
Входящий сюда символ ГФ не должен вводить в заблуждение: -он не
обозначает температуру ферми-газа, а служит лишь удобной для сравнения
точкой отсчета. При Т <С Тф газ вырожден, а при Г > Гф газ находится в
классической области. Таким образом, (30) принимает вид
Сэ = V2JtWftв = '/^Ыкв ~. (32)
Ьф 1 ф
Полученный выше результат можно объяснить физически. Когда образец
нагревается от абсолютного нуля, то тепловым образом возбуждаются в
основном те электроны, которые находятся в состояниях, лежащих вблизи
уровня Ферми в энергетическом интервале порядка т, поскольку, как видно
из рассмотрения рис. 14.4 и 14.8, функция распределения Ферми - Дирака
*) Этот интеграл не элементарен, но его можно вычислить, дифференцируя по
параметру ос уже известный результат:
198
ГЛ. 14. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
искажается в области шириной порядка т. Таким образом, число возбужденных
электронов порядка Мг/еф, и энергия каждого из них увеличена
приблизительно на т. Поэтому полная тепловая
энергия электронов примерно равна
Vr2
Д?/"-. (33)
?ф
Для электронного вклада в теплоемкость получаем
dAU
- ki
dT d AU dr
¦ Nki
N ¦
(34>
Рис. 14.10. Зависимость химического потенциала ц от температуры для
ферми-газа свободных электронов в одно- и трехмерном случаях.
У обычных металлов при комнатной температуре kfiTjtfy "0,01, так что
химический потенциал ц почти равен 8ф. Обе кривые вычислены путем
разложения в ряд интеграла (12) для числа частиц в системе.
т. е. он прямо пропорционален Г. что согласуется с точным результатом
(30) и с экспериментальными данными.
Задача 14.5. Зависимость химического потенциала от температуры. Объяснить
графически, почему для кривой ц(т) для газа характерна выпуклость, вниз в
одномерном случае и выпуклость вверх - в трехмерном случае-(рис. 14.10).
