Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
при распределении Максвелла..
а. Используя (15) и интегрируя его, показать, что средняя квадратичная
скорость Пор.кв равна
, = = (з x/Af)V
D иСПЖ
/0 'В
/
/
Г N
У \
/ \
/
ucp. КВ •
(16)
Так как (о2) = (и*) + (о2у) + (а2г) и
:(T/M)'/2 = ncp KB/V3.
(17)
Соотношения (16) и (17) можно также прямо получить из выражения для
средней кинетической энергии идеального газа, выведенного в гл. 11.
Значения t>0p. кв приведены в табл. 13.1.
б. Показать, что наиболее вероятная скорость va, в равна
i>". в = (2т/А1)'/2. (18)
Наиболее вероятной скоростью называется скорость, при которой
распределение Максвелла как функция v имеет максимум. Заметим, что
va. а < Пер. кв.
а. Показать, что средняя скорость с равна
Рис. 13.2. Распределение Максвелла по скоростям как функция скорости,
измеренной в единицах наиболее вероятной скорости vH в = (2kBT/M)'!2.
Приведены также величины средней скорости с и средней квадратичной
скорости °ср. кв. -
= ^ dv оР (н) = (8т/я
(19)
Среднюю скорость можно также обозначать через (]н|). Отметим, что
Чср. КВ
,086.
(20)
г. Показать, что среднее абсолютное значение г-компоненты скорости
атома равно
(I vz 1) == Vstc = (2%/пМ)'{г. (21)
Экспериментальное подтверждение распределения по скоростям в пучке
Было проведено очень тщательное изучение распределения по скоростям
атомов калия, вылетающих из маленького отверстия в печи [55]. На рис.
13.3 сравниваются экспериментально
ПРОВЕРКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО СКОРОСТЯМ В ПУЧКЕ
175
13 12 11 10.9 в 7 6 5 4 3 2 1 .0 Время пролета
Рис. 13.3. Распределения по скоростям атомов калия, вылетающих из печи с
температурой 157 °С, полученные расчетом и экспериментально [55].
По оси ординат отложено число частиц, вылетающих из отверстия печи в
единицу времени (произвольные единицы). Максимум сплошной кривой совмещен
с максимумом эксперимен* талъного распределения. Давление в печи равно
0,84'. 10 мм рт. ст.
ГН. Диски селектора скоростей i -1-
11| ^ || я? Детектор Отделение для ¦-изучения пучка
Рис. 13.4. Экспериментальное устройство (вид сверху) [55].
Печь, селектор скоростей и детектор устанавливают на оптической скамье и
помещают в цилиндрическую вакуумную камеру. Камера разделена на два
отделения: одно-для печи и другое-для изучения пучка.
Рис. 13.5. Деталь селекторного диска [55].
Селектор скоростей состоит из двух одинаковых алюминиевых дисков с
прорезями. Каждый диск приводится мотором во вращение со скоростью 8000
об/мин. Специальное устройство позволяет менять сдвиг фаз между
электрическими напряжениями, подаваемыми на моторы. Установка селектора
на нулевое время пролета производится с помощью светового пучка,
испускаемого небольшим источником, расположенным вблизи одного из дискоа.
Этот пучок проходит через селектор скоростей и регистрируется
фотоэлементом, находящимся около другого диска. В вакуумной камере, где
расположен селектор, давление, не превышающее 5* 10 7 мм рт. ст., может
поддерживаться сколь угодно долго.
176
ГЛ, 13, КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
найденные данные с результатами, рассчитанными по (22). При указанном в
подписи под рисунком давлении в печи согласие превосходное. Некоторые
детали применяемых установок показаны на рис. 13.4 и 13.5.
Распределение по скоростям для атомов, вылетающих из печи
Для экспериментальной демонстрации правильности распределения Максвелла
(15) необходимо знать распределение по скоростям атомов, вылетающих в
определенном направлении из маленького отверстия *) в печи. Это
распределение отличается от распределения по скоростям внутри печи, так
как в выражение для потока через отверстие входит дополнительный
множитель - компонента скорости, нормальная к стенке. (Для выделения
строго направленного пучка атомов в опытах используют второе отверстие.)
Выходящий пучок оказывается обогащенным атомами с большими скоростями.
Обогащение пучка быстрыми атомами отражается в появлении множителя,
пропорционального скорости v в направлении, перпендикулярном к плоскости
отверстия. Вероятность того, что вылетающий из отверстия атом будет иметь
скорость, лежащую между v и v + dv, обозначается через РауЧк{а)йс, причем
•Рпучк (и) 70 vPмаксв то v3 ехр (- Mv2/2x), (22)
где Рмаксв определяется (15). Распределение (22) часто называют
трансмиссионным распределением Максвелла. Соответствующие
экспериментальные данные представлены на рис. 13.3.
Эффективные сечения столкновения и средняя длина свободного пробега
Атомы не являются твердыми сферами. При большом удалении друг от друга
потенциальная энергия двух атомов определяется ван-дер-ваальсовым
взаимодействием. Оно обусловлено взаимным притяжением атомов,
изменяющимся приблизительно как 1 /г6, где г - расстояние между ядрами.
При малых расстояниях между атомами они отталкиваются друг от друга с
силой, изменяющейся примерно как 1 /г12. При большой относительной
